La respuesta completa a esta pregunta es un problema abierto en la mecánica de fluidos, ya que se desconocen las soluciones exactas de forma cerrada de las ecuaciones de las ondas gravitacionales superficiales del agua. Sin embargo, bajo ciertas aproximaciones asintóticas, podemos estimar la velocidad de estas ondas.
Las ondas superficiales invisibles irrotacionales se rigen por la ecuación de Laplace, es decir
$$\nabla^2 \phi = 0$$
donde $\phi$ es el potencial de velocidad. Esta ecuación de gobierno, junto con las condiciones de contorno
$$\phi_t+\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 +gz = 0$$
$$\eta_t +(\nabla \phi)\cdot (\nabla \eta) = \phi_z$$
donde $\eta$ es el desplazamiento de la superficie libre, y estas ecuaciones se evalúan en la superficie libre, es decir $z = \eta$ y la condición límite inferior $\phi_z = 0$ en $z=-h$ con h la profundidad del agua, constituyen el conjunto completo de ecuaciones. Además, aquí $g$ es la aceleración debida a la gravedad.
La ecuación gobernante es lineal, es decir, las ecuaciones de Laplace, pero las BC son no lineales, y además se evalúan en un punto que debemos resolver, lo que hace que estas ecuaciones sean muy difíciles de resolver.
Para hacer cualquier tipo de progreso analítico, hacemos aproximaciones asintóticas. Dependiendo de si se describen olas de aguas profundas o poco profundas, entran en juego diferentes parámetros adimensionales. Sin embargo, para las ondas lineales, ambos comparten el pequeño parámetro común $\epsilon \equiv ak$ que describe la pendiente de la onda.
En este caso, las ecuaciones gobernantes, a $\mathcal{O}(\epsilon)$ son
$\nabla^2\phi = 0$ con $\phi_t+ g\eta = 0$ y $\eta_t = \phi_z$ , ambos evaluados en $z=0$ , mientras que $\phi_z = 0$ en $z=-h$ .
Para simplificar consideremos las ondas de dos dimensiones, donde $x$ es la dirección horizontal, y $z$ es la coordenada vertical. Suponiendo que las soluciones son ondas progresivas permanentes de la forma $$\eta = a\ cos(kx-\omega t)$$ con $a$ la amplitud, $k$ el número de onda y $\omega$ la frecuencia, encontramos que las ecuaciones de gobierno lineales implican
$$\omega^2 = gk \tanh(kh)$$
Ahora, si seguimos ondas de fase constante $\theta = kx -\omega t$ vemos que estas ondas viajan a una velocidad $c = \omega/k$ . En aguas poco profundas, $kh \gg 1$ para que
$$\omega^2 \approx ghk^2\\ (\text{and}) \\c = \sqrt{gh},$$
mientras está en aguas profundas, $kh \ll 1$ para que
$$\omega^2 \approx gk\\ (\text{and}) \\ c= \sqrt{\frac{g}{k}}$$
Lo primero que notamos es que en aguas profundas, las olas son dispersivo , lo que significa que la velocidad de fase depende del número de onda. Por eso, por ejemplo, cuando el oleaje llega a la costa, son las olas más largas las que llegan primero. En aguas poco profundas, en primer orden, las olas no son dispersivas.
En primer lugar, las estelas no son más que una superposición lineal de ondas, debida a una perturbación puntual en movimiento. Esto se conoce como el problema de la estela de barco de Kelvin, y he discutido una forma de derivar este resultado aquí .
Ahora bien, la descripción anterior apenas constituye un resumen. Por ejemplo, hay muchos efectos interesantes que se producen cuando se incluyen los efectos capilares. En el caso de las ondas capilares en aguas profundas
$$\omega^2 = Tk^3$$
donde $T$ es la tensión superficial del agua. Vemos que para estas ondas, la velocidad aumenta con el número de onda, en contraste con las ondas gravitacionales. Sin embargo, esta ecuación es académica, ya que cualquier descripción de las ondas capilares debe incluir necesariamente la disipación, que es significativamente más difícil de modelar (y sólo se ha hecho para casos no lineales numéricamente).
Los efectos de segundo orden (por ejemplo, en los solitones de aguas poco profundas, en los efectos Stokes de aguas profundas y en la ecuación de Schrödinger no lineal) son realmente interesantes, pero implican un trabajo más pesado.
