Buscar valores mínimos de$P=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

Question

Dado$x,y,z>0$ y$y+z=x(y^2+z^2)$

Encuentra los valores mínimos de

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¿Alguien podría darme una idea?

Answer 1

dejar $y+z=2t\implies y^2+z^2\ge 2t^2 \implies xt\le 1$

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Nota todo "=" anterior se mantendrá cuando$P\ge \dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{2}{(1+y)}\dfrac{1}{(1+z)}+\dfrac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}=\dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{2}{(1+y)(1+z)}(1+\dfrac{2}{(1+x)})\ge \dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{2*4}{(1+y+1+z)^2}(1+\dfrac{2}{(1+x)})={(1+x)^2}+\dfrac{2}{(1+t)^2}(1+\dfrac{2}{(1+x)})\ge {(1+x)^2}+\dfrac{2x^2}{(1+x)^2}(1+\dfrac{2}{(1+x)})=f(x) $, por lo que puede encontrar min de$y=z$ y$f(x)$

Answer 2

Por el método del multiplicador de Lagrange obtenemos$$P\geq \frac{91}{108}$$ the equal sign holds if $$x=\frac{1}{5},y=z=5$ $