Extensiones cíclicas de $\mathbb{R}(t)$

Question

Dejemos que $\mathbb{R}(t)$ sea el campo de las funciones racionales sobre $\mathbb{R}$ (el campo de la fracción de $\mathbb{R}[x]$ ).

Estoy buscando elementos en el grupo de Brauer del campo, y la idea actual que tengo para seguir es encontrar infinitas extensiones cíclicas del campo, y usarlas para crear álgebras de división cíclica.

Mi experiencia en teoría de Galois no es muy rica en extensiones trascendentales de $\mathbb{R}$ y estoy un poco perdido. ¿Estoy en el camino correcto hacia el grupo Brauer? ¿Alguna idea de cómo demostrar que hay muchas extensiones cíclicas?

Answer 1

Por un famoso teorema de Tsen y Lang, el grupo Brauer de $\mathbb{C}(t)$ es cero. Así, si se toma cualquier clase del grupo de Brauer de $\mathbb{R}(t)$ y restringirlo a la extensión cuadrática $\mathbb{C}(t)$ se convierte en cero.

De esto se deduce que cada elemento de $\operatorname{Br}(\mathbb{R}(t))$ puede representarse mediante un álgebra de cuaterniones, por lo que vas por buen camino al considerar las extensiones cíclicas (cuadráticas), de las que hay infinitas. Tienes que pensar cuando $\mathbb{R}(t)(\sqrt{f(t)}) = \mathbb{R}(t)(\sqrt{g(t)})$ cuando $f$ y $g$ son funciones racionales. Pista: basta con considerar el caso de los polinomios sin cuadrado, y entonces la igualdad anterior implica que $f$ y $g$ tienen las mismas raíces (en $\mathbb{C}$ ). Es muy tentador para mí hablar geométricamente en términos de ramificación pero no sé si te sentirías cómodo con eso.