Primera derivada de$\sqrt[\large 5]{\frac{t^3 + 1}{t + 1}}$

Question

Tengo otro derivado con el que necesito ayuda. Tengo que diferenciar:

ps

con respecto a $$\sqrt[\uproot{3}{\Large 5}]{\frac{t^3 + 1}{t + 1}}$.

Tuve dos pensamientos sobre esto, utilizar la regla de la cadena, a continuación, la regla de cociente y multiplicar, pero luego me quedo con un lío de:

ps

Esto se está convirtiendo en un verdadero lío y la respuesta que debo obtener es:

ps

¿Voy por el camino correcto sobre esto o debo intentar una ruta diferente?

Gracias

Answer 1

El proceso que se describe una manera de acercarse a este: usted puede utilizar la regla de la cadena y la regla de cocientes. Pero a mí parece como si no se comprende el cociente regla:

$$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$$

$$h'(x) = \frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}$$

donde los factores en el numerador se multiplica, no se agrega. (También se ve como se multiplican los coeficientes por $1/5$?)

En su caso, la función racional dentro de las 5 de la raíz es $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{t^3 + 1}{t+1}$$

$$f(x) = t^3 + 1, \implies f'(x) = 3t^2;\quad g(x) = t+ 1\implies g'(x) = 1$$

$$h'(x) = \frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} $$ $$h'(x) = \frac{3t^2(t+1) - (t^3 +1)\cdot 1}{(t+1)^2}\;\;=\;\;\frac{2t^3 + 3t^2 - 1}{(t+1)^2}$$

Ahora, multiplica $h'(x)$ con el resultado que obtuvo para el primer factor: $$\frac 15\left(\frac{t^3+1}{t+1}\right)^{-4/5}= \left(\frac{t+1}{t^3 + 1}\right)^{4/5}$$

Lo que nos da:

$$\frac 15\left(\frac{t+1}{t^3 + 1}\right)^{4/5}\cdot \frac{2t^3 + 3t^2 - 1}{(t+1)^2}$$

Ahora, podemos simplificar. (Chaz del método simplifica enormemente el proceso de tomar la derivada de su función. Pero creo que es una buena idea para asegurarse de que entiende el cociente de la regla.)

Chaz del consejo también simplificar la izquierda factor anterior a $\left(\dfrac{1}{t^2 - t + 1}\right)^{4/5}$. Después de eso, no hay realmente ninguna necesidad de simplificar. Las respuestas pueden ser correctas, sin embargo, no coincide con el "libro de texto de la solución" a la perfección, basándose simplemente en la forma en que elegimos para simplificar.

$$\left(\frac{2t - 1}{5(t^2 + t - 1)^{4/5}}\right)$$

Answer 2

Sugerencia: simplificar la radicand a$t^2 -t + 1$ antes de diferenciar.

Answer 3

Preferiría tomar el quinto poder de ambos lados y conseguir$$y^5(t+1)=t^3+1.$ $ Diferenciar ambos lados, usando diferenciación implícita a la izquierda . Obtenemos$$y^5+5(t+1)y^4 y'=3t^2.$ $ Ahora resuelve$y'$.

Para ejemplos más complicados de un tipo similar, sugeriría la diferenciación logarítmica. Tome el logaritmo (natural) de ambos lados. Obtenemos$$\log y=\frac{1}{5}\log(1+t^3)-\frac{1}{5}\log(1+t).$ $ Diferenciar ambos lados con respecto a$t$. A la izquierda tenemos$\frac{y'}{y}$. La diferenciación a la derecha es sencilla.