Derivación de la regla del 37 por ciento para las citas

Question

Estoy tratando de probar la teórica "regla del 37 por ciento" para las citas. El montaje, si no recuerdo mal, es el siguiente. Supongamos que usted se reunirá exactamente $N$ parejas potenciales en tu vida, y las conocerás de una en una, en un orden perfectamente aleatorio. Las parejas potenciales se ordenan de mejor a peor (en un orden total), y tú quieres maximizar la probabilidad de acabar con la mejor. Sin embargo, sólo puedes saber lo buenas que son las parejas entre sí por lo que, si bien puedes clasificar por completo a las personas que ya has conocido, no puedes decir nada de las que aún te quedan por conocer. Además, para cada pareja potencial, puedes quedarte con ella para siempre o dejarla para siempre, es decir, no hay divorcio ni citas tras la ruptura.

El resultado que he oído, y que estoy intentando probar, es que tu mejor estrategia es esperar y rechazar el primer 37% de ellos ( $1/e$ para ser precisos), y luego casarse con el siguiente que es mejor que todo lo que has conocido antes . En $1/e$ número presumiblemente surge como el límite como $N \to \infty$ .

Obviamente, nunca debes casarte con alguien que no sea estrictamente mejor que todos los anteriores, porque entonces tus posibilidades de elegir al adecuado son $0$ . Además, dada una estrategia que esperar a través de la primera $K$ parejas y luego casarse con la siguiente que sea la mejor hasta el momento, calculo sus probabilidades esperadas de éxito como \begin{equation} \frac{\displaystyle \sum_{M = K}^{N-1} \frac{M - 1 \choose K-1}{N - M}}{N \choose K} \end{equation}

(Deja $M$ sea el valor máximo entre los primeros $K$ gente que conoces, dónde $1$ es el valor de la peor persona, $2$ es el siguiente, y así sucesivamente, con su pareja deseada teniendo valor $N$ . Dado $M$ sus posibilidades de ganar son $\frac{1}{N - M}$ porque el valor $N$ debe ser el primero en salir de lo más alto $N - M$ valores. Las posibilidades de que el máximo sea exactamente $M$ son ${M - 1\choose K - 1}/{N \choose K}$ .)

(La fórmula anterior no funciona técnicamente para $K = 0$ pero la convención razonable ${-1 \choose -1} = 1$ da el valor deseado $\frac1N$ .)

Las dos cosas que no puedo probar, y para las que me gustaría ver ideas, son:

1. Dado que nunca eliges a alguien a menos que sea el mejor hasta el momento, ¿cómo demuestras además que la mejor estrategia debe implicar esperar a que algunos $K$ gente y luego ir a por cualquier otro después de eso $K$ ?

2. ¿Por qué la fórmula anterior está optomizada en $K = N / e$ ¿Y cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

La decisión de casarse o no sólo tiene que tomarse cuando el resultado actual es mejor que todos los resultados anteriores (de lo contrario, la elección actual es definitivamente subóptima). La elección, en el punto $K$ casarse o no (siempre que el $K$ fecha es mejor que todas las anteriores) no depende de las fechas anteriores de ninguna manera (aparte de que sean peores que la fecha $K$ th) porque todos los órdenes relatiev son igualmente probables. Por lo tanto, cualquier estrategia óptima debe consistir en probabilidades $p_k$ para $1\le k\le N$ de forma que cuando el $k$ a fecha es mejor que todas las anteriores, nos casamos (y paramos) con probabilidad $p_k$ y continuar en caso contrario. Sea $q_k$ es la probabilidad de elegir el mejor siempre que no hayamos elegido ninguno de los primeros $k$ . Entonces la probabilidad de elegir la mejor siempre que no hayamos elegido ninguna de las primeras $k-1$ es $$ q_{k-1}=\frac{\frac1Np_k+\frac{N-k}{N}\frac1k(1-p_k)q_k+\frac{N-k}{N}(1-\frac1k)q_k}{P(\text{none of the first $ k-1 $ selected})}=\alpha_kp_k+\beta_k$$ ( $k$ es mejor y elegimos, o mejor es después de $k$ y $k$ es mejor de primero y no lo elegimos, o mejor es después de $k$ y $k$ no es el mejor de los primeros) y, por tanto, se maximiza claramente en $p_k=0$ ( $\alpha<0$ ) o $p_k=1$ ( $\alpha>0$ ) o en una rara posibilidad $p_k$ no importa en absoluto ( $\alpha=0$ ) y puede wlog. seleccionarse para ser $0$ o $1$ .

Puedes dejar claro que tener $p_k=1$ y $p_{k+1}=0$ no puede ser óptima.