Una imagen continua de un segundo espacio contable que no es contable segundo.

Question

Construir un ejemplo demostrando que una imagen continua de un segundo contables espacio no puede ser segundo contables.

Construyo un ejemplo tomando dos diferentes topología en $I=[0,1]$, $(I,\mathcal{X})$ y $(I,\mathcal{Y})$ donde $\mathcal{X}$ es el estándar, y $\mathcal{Y}$ es generado a partir de la base de que el intervalo abierto con puntos finales en el conjunto de Cantor. El mapa es el mapa de identidad.

Es mi derecho de la construcción? Es allí cualquier otras construcciones?

Añadido: Mi construcción es incorrecto...

Answer 1

Tome $f: (\mathbb R, T_{Euclid}) \to (\mathbb R, T_{cof})$ el mapa de identidad de la norma de la topología para el cofinite la topología en $\mathbb R$.

Agregó

Para ver por qué una base para la cofinite la topología en $\mathbb R$ no se puede contables (por contradicción) suponga que tiene una contables base $B$$T_{cof}$. A continuación, para cada $O$ en $B$, $O^c = \mathbb R \setminus O$ es finito (por definición). Tomar la unión de $\bigcup_{O \in B} O^c$$O^c$$B$. A continuación, $\bigcup O^c$ es contable, por lo tanto, un subconjunto de a $\mathbb R$. Elegir un punto de $x$$\mathbb R \setminus \bigcup O^c$. A continuación, $\mathbb R \setminus \{x\}$ está abierto en el cofinite de topología pero no se puede escribir como la unión de conjuntos en $B$. Por lo tanto $B$ no puede ser una base.

Answer 2

¿Qué tal un espacio separable de Banach$X$, con$\tau$ la topología de norma y$\tau_w$ la topología débil. El mapa de identidad$(X, \tau) \to (X, \tau_w)$ es continuo, y$(X,\tau)$ es un espacio métrico separable, por lo tanto, segundo contable, pero$(X, \tau_w)$ no es ni siquiera el primero contable.

Answer 3

Este es el ejercicio 16B.1 en la Topología General de Willard: Para cada$n\in \Bbb N$, deje que$I_n$ sea una copia de$[0,1]$. Sea$X$ la unión disjunta de los espacios$I_n$. Identifique los extremos de la mano izquierda de todo el$I_n$ y deje que$Z$ sea el espacio de cociente resultante. El punto distinguido en$Z$ no tiene base de nhood contable, aunque$X$ es el segundo conteo.