Un número de hombres entran en un establecimiento de mala reputación

Question

Un número de hombres entran en un establecimiento de mala reputación y cada uno deja un abrigo y un paraguas en la puerta. Cuando se recibe un mensaje diciendo que el establecimiento está a punto de ser asaltado por la policía, los hombres salen a toda prisa, y ningún hombre recibe el abrigo correcto y el paraguas. Si hay n hombres, muestre que el número de formas en que esto puede suceder es$$n!\left( n!-\frac{(n-1)!}{1!} + \frac{(n-2)!}{2!}-...+\frac{(-1)^n}{n!} \right) $ $

Answer 1

Deje que el número de maneras en que esto puede suceder para$n$ personas sea$D_n.$ Para cada$1\le i \le n,$ sea$C_i$ el conjunto de arreglos en los que la persona$i$ obtiene Ambos de sus artículos de nuevo.

Luego por inclusión-exclusión,$D_n = (n!)^2 - \sum |C_i| + \sum |C_i\cap C_j| + \ldots$

Sin embargo, el número de términos en cada suma que implica$|C_i| = [(n-1)!]^2,$ personas es$|C_i\cap C_j| = [(n-2)!]^2,$ por lo que la fórmula sigue fácilmente.