¿Cómo probar que el número de Fibonacci es entero?

Question

Cómo probar que la fórmula para los números de Fibonacci siempre son enteros, para todos$n$:

$$ F_n = \ frac {\ varphi ^ n - \ psi ^ n} {\ sqrt {5}} $$ donde,$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ y$\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Sé cómo probar que$F_n$ es racional, pero ¿qué pasa con entero?

Answer 1

Desde que tenemos

ps

Dado que$\sqrt{5} = \varphi-\psi$ y$$F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\varphi-\psi} = \sum_{k=0}^{n-1} \varphi^{n-1-k}\psi^k.$ son números enteros algebraicos, también lo es$\varphi$. Un entero algebraico racional debe ser un entero racional.