Paquete normal de$CP^n$ in$CP^{n+1}$

Question

Deje que$S^1$ actúe en$S^{2n+1}$ a través de la acción Hopf y$S^1$ también actúa en$\mathbb{R}^2$ a través de la rotación sobre el origen. Entonces$S^1$ actúa en$S^{2n+1}\times \mathbb{R}^2$ en diagonal.

Sea$M$ el cociente de esta acción diagonal.

Mi pregunta es por qué$ M$ puede ser visto como el paquete normal de$\mathbb {CP}^n$ en$\mathbb {CP}^{n+1}$.

Tengo la sensación de que debe estar relacionado con el hecho de que: después de quitar un$(2n+2)$ disco en$\mathbb {CP}^{n+1}$, el límite$S^{2n+1}$ es fibrado sobre el$\mathbb {CP}^n$.

Pero, ¿dónde puedo encontrar la prueba de la declaración?

Answer 1

$S^{2n+1}$ Se encuentra en$S^{2n+3}$ con un paquete trivial normal. Así que el mapa de cociente$S^{2n+3} \to \mathbb CP^{n+1}$ lleva el paquete normal de$S^{2n+1}$ en$S^{2n+3}$ al paquete normal de$\mathbb CP^n$ en$\mathbb CP^{n+1}$.