Teorema de estructura para espacios de Banach

Question

El siguiente es un teorema en el Álgebra de Banach Técnicas para el Operador de la Teoría de Douglas:

Aquí están mis preguntas:

• Podría salir con alguna referencia (o de prueba) con respecto a la observación de la derecha después de la prueba:

si $\mathscr{X}$ es separable, entonces $X$ puede ser tomado en el cierre de la unidad de intervalo de $[0,1]$?

• ¿Por qué el comentario decir que la canónica $X$ asociado con $\mathscr{X}$ está ausente? ¿No es $(\mathscr{X}^*)_1$ (la bola unidad cerrada en $\mathscr{X}^*$)?

Answer 1

Este es el de Banach–Mazur teorema.

Al $X$ es separable, la unidad de la bola de $B_{X^*}$ $X^*$ es metrisable en la débil*-topología. Cada espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor $\Delta$. Por lo tanto $X$ puede ser considerado como un subespacio de $C(B_{X^{*}})$, lo que a su vez es un subespacio de $C(\Delta)$ a través de $$\iota(f) = f\circ \varphi\quad \big(f\in C(B_{X^*})\big)$$ where $\varphi \colon \Delta \a B_{X^*}$ is a continuous surjection. Now it is enough to embed $C(\Delta)$ isometrically into $C[0,1]$. Normalmente la gente usa el Borsuk(–Dugundji) teorema de encontrar una incrustación.

Este teorema afirma que si $K$ es un compacto Hausdorff espacio y $L$ es un cerrado, metrisable subespacio de $K$ entonces existe una norma-un operador $T\colon C(L)\to C(K)$ tal que $(Tf)|_L = f$ todos los $f\in C(L)$.

Hay muchas maneras de incorporar a $C(\Delta)$ a $C[0,1]$ y no hay canónica surjection $\varphi \colon \Delta\to B_{X^*}$ es por eso que el adjetivo canónico se omite.