Para la definición del espacio de móduli de superficie de Riemann, parece que no se basa en la definición en términos de functor(representable...) sino más bien poner una topología sobre el conjunto de clases de isormophism. ¿Hay alguna diferencia entre estos? ¿O si me olvido de algo? ¿Hay alguna referencia? ¡Gracias!
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YequalsX
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En el complejo de la analítica de la configuración también se puede trabajar en términos de representación de los functors y así sucesivamente; por desgracia, al igual que en la configuración algebraica, va a resultar que el natural functor no es representable sin imponente estructura de nivel o pasar a una categoría mayor de la pila como objetos.
Sin embargo, el complejo estudio analítico de superficies de Riemann y sus módulos tiene sus propias tradiciones, que viene de Teichmuller teoría, la teoría de la asignación del grupo de clase, la analítica, la teoría de Ahlfors y Bers, y así sucesivamente, y estas tradiciones vienen con su propio punto de vista-puntos, en la cual enfatiza la representatividad de la functor por cierto de la pila como objeto no puede ser de suma importancia.
Sólo para ver por qué esto podría ser, tener en cuenta que si $f: X \to S$ es un buen adecuada mapa de complejo de la analítica de los colectores (por ejemplo, una familia de superficies de Riemann sobre una suave base), luego por Ehresmann del teorema, $f$ es una fibra-bundle en el $\mathcal C^{\infty}$-categoría. Así que uno ve que las fibras de $f$ no varían topológicamente, y uno puede tratar de considerar directamente cómo la compleja estructura varía. (Este es el de Kodaira--Spencer punto de vista de la deformación de la teoría.) El hecho de que uno tiene estos vivos vista geométrico de los puntos disponibles, significa que hay menos presión para uso categórico lenguaje para describir la situación.
m0j0
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A partir de la mención de la representabilidad supongo que te refieres a las superficies de Riemann como las curvas algebraicas, no la complejidad analítica o de conformación de los módulos problemas.
En representación de los módulos functor podría significar que usted tiene objeto en un "razonable" de la categoría (por ejemplo, una variedad, esquema, o algebraica de espacio) que es un universal de la familia de curvas de cualquier tipo que usted está considerando. Pero esto no existe para las curvas algebraicas, sin más restricciones (por ejemplo,., de estabilidad) y rigidización de datos (tales como los puntos marcados) para obtener una "multa espacio de moduli". Sin embargo, si por topología que significa una topología de Grothendieck, a continuación, puede definir una cosa, es decir, una categoría adecuada de las coberturas asociadas al problema, como una virtual de los módulos de objeto que se puede considerar como un espacio en el sentido de que cohomology y otros invariantes geométricos pueden ser asociados a ella.
El canónico y admiraba mucho exposición que se lo explicaron a el mundo es "Picard Grupos de Módulos de Problemas" por David Mumford. Entre otros logros se muestra cómo trabajar con módulos de pilas, sin utilizar la palabra "pila" (que puede haber sido acuñado más tarde, no sé).
