¿Cada vector tiene un aditivo inverso?

Question

Estoy tomando una clase de álgebra lineal en mi universidad y recientemente hemos estado hablando sobre el inverso multiplicativo de las matrices y cómo algunas matrices no tienen inversos multiplicativos (es decir, matrices que no son cuadradas). Esto me hizo preguntarme si los vectores también tienen inversiones, específicamente inversiones aditivas. ¿No es el inverso aditivo de un vector sólo el negativo de ese mismo vector, y no es la suma de un vector y su inverso aditivo sólo el vector cero? En ese caso, ¿la afirmación que sigue es verdadera en todos los casos? ¿Y el vector cero tiene un inverso?

"Cada vector debe tener un inverso aditivo, siendo la suma de estos dos vectores el vector cero".

Answer 1

En los espacios vectoriales estándar sólo hay suma y multiplicación escalar, por lo que la única inversa es la inversa aditiva.

$$ \mathbf{v}+(-\mathbf{v})=\vec{0} $$

Sin embargo, en álgebra geométrica Los vectores existen como subconjunto de un conjunto más amplio de objetos que incluye escalares y "multivectores" en los que se define un producto. Este producto subsume el producto escalar de la teoría vectorial estándar.

En este contexto, algunos vectores no nulos tienen inversos multiplicativos.

Answer 2

Toda matriz y todo vector tienen una inversa (aditiva). De hecho, el conjunto de $n\times n$ matrices para un determinado $n$ es un espacio vectorial, y un vector se define como un elemento de un espacio vectorial, que se define en parte por la existencia de un inverso aditivo para cada elemento.

Sin embargo, la matriz inversa a la que te refieres es una inversa multiplicativa, cuya existencia no está garantizada para todas las matrices. En general, los espacios vectoriales no tienen operadores de multiplicación (excepto la multiplicación escalar) y, por lo tanto, no tienen inversiones o identidades multiplicativas. El conjunto de $n\times n$ matrices es un tipo especial de espacio vectorial, llamado álgebra que contiene un operador de multiplicación de vectores (multiplicación de matrices). El álgebra de $n\times n$ Las matrices se denominan un álgebra unital debido a la existencia de una identidad multiplicativa (la matriz identidad). Sin embargo, no es un álgebra de división, ya que no existe una inversa multiplicativa para cada elemento distinto de cero. Un ejemplo de álgebra de división serían los números reales, ya que cada número real distinto de cero tiene un recíproco, y cuando los dos se multiplican el resultado es 1.

Answer 3

Un espacio vectorial está formado por un conjunto $V$ , un campo $\Bbb K$ una operación de adición $+\colon V \times V \to V$ y una multiplicación por escalar $\cdot\colon \Bbb K \times V \to V$ que satisfacen ciertas propiedades.

En el caso particular de $V={\rm Mat}(n,\Bbb K)$ tenemos un extra operación de producto matricial $${\rm Mat}(n, \Bbb K) \times {\rm Mat}(n,\Bbb K) \to {\rm Mat}(n, \Bbb K)$$ que en general no está disponible en un espacio vectorial arbitrario . Por eso, en general, no se habla de "invertir vectores": hay que tener claro qué operación se está considerando. En un espacio vectorial arbitrario, la única operación garantizada es la suma $+$ . Y por definición, todo vector $v$ tiene un "inverso según $+$ ": su simetría $-v$ .

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Existe otra estructura algebraica un poco más fuerte que un espacio vectorial: un álgebra sobre un campo $\Bbb K$ es un espacio vectorial dotado de un producto bilineal $V \times V \to V$ . Nuestro primer ejemplo de $\Bbb R$ -es el álgebra ${\rm Mat}(n,\Bbb R)$ con el producto matricial habitual. En las álgebras en las que tenemos un elemento "unidad" (se llaman álgebras unitales ), se puede investigar cuando un determinado vector tiene o no una inversa.

Answer 4

Hay matrices que no tienen inversa multiplicativa pero todas las matrices tienen inversa aditiva. Un vector tiene una inversa aditiva. La inversa aditiva del vector nulo es el vector nulo (compárese con su definición). El término inverso siempre está relacionado con una operación binaria.

Answer 5

Sí, todo vector (incluso los complejos) tiene opuesto (en tus palabras, inverso aditivo) $\vec{u}+(-\vec{u})=0$ . En el sitio web $\vec{u}=(u_1,\dots,u_n) : u_i \in \mathbb{R}$ (o $\mathbb{K}$ en general) De hecho ese es un axioma de campo lineal (echa un vistazo). Pero toda matriz tiene también su opuesto. $A+(-A)=0$ tal que $A, -A \in \mathscr{M_{m \times n}}$ . En el sitio web $-A$ se define como sigue $-A_{i,j}=(-1)A_{i,j}$ . Ahora la inversa (inversa multiplicativa) no está definida para los vectores pero sí para las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de cero.

si $\det{(A)} \neq 0\Leftrightarrow A^{-1}$ existe.