Un número entero positivo $k$ de manera que el último $2015$ dígitos de $53^k$ son todos $3$

Question

Demuestre que existe un número entero positivo $k$ de manera que el último $2015$ dígitos de $53^k$ son todos $3$ .

Necesitamos $3 \cdot 53^k \equiv -1 \pmod{10^{2015}}$ . No he visto la forma de demostrar que existe tal número entero $k$ porque el módulo es muy grande. ¿Cómo demostramos que existe tal número entero $k$ ?

Answer 1

Una vez que encontramos un poder de $53$ cuyos cuatro últimos dígitos son $3$ podemos obtener el deseado $k$ . En concreto, dejemos que $a$ , $k_4$ sean números enteros tales que $53^{k_4}\equiv a\mod 10^4$ . Afirmo que para cada número entero $n\geq 4$ hay un número entero positivo $k_n$ tal que $$53^{k_n}\equiv a\mod 10^n.$$ La prueba es la inducción sobre $n$ . El caso base $k_4$ existe por hipótesis. Ahora, dejemos que $n\geq 4$ y supongamos $53^{k_{n}}\equiv a\mod 10^n$ . Tendremos $53^{k_n}= a+10^nb$ para algún número entero $b$ . Podemos calcular directamente que $53^{500}\equiv 1+10^4\mod 10^5$ . De ello se desprende que $$ 53^{500\cdot 10^{n-4}b a^{-1}}\equiv 1+10^n ba^{-1}\mod 10^{n+1}, $$ donde $a^{-1}$ denota cualquier inverso de $a$ modulo $10$ . Tomamos $k_{n+1}=k_n-500\cdot 10^{n-4}ba^{-1}$ para conseguir $$ 53^{k_{n+1}}\equiv (a+10^nb)(1-10^n ba^{-1})\equiv a\mod 10^{n+1}. $$

Para terminar el problema, comprueba que $$ 53^{29}\equiv 3333\mod 10^4. $$