¿Es única la estructura de los números reales?

Question

Para tener un marco de referencia, soy un estudiante de matemáticas que ha cursado la serie introductoria de análisis y la secuencia de álgebra de posgrado en mi universidad.

En mi clase de análisis, nuestro libro enumera axiomas que describen la estructura de los reales. Esto me pareció poco natural, ya que a menudo podemos escribir definiciones o listas de reglas que ningún conjunto satisface realmente. Así que el enfoque axiomático no me asegura que lo que estamos discutiendo pueda existir realmente.

Nuestro profesor nos habló de los cortes dedekind como forma de construir explícitamente los reales, lo que me pareció más útil.

En mi clase de álgebra moderna hablamos de la terminación de los racionales como forma de construir los números reales.

Pero esto me lleva a preguntarme - ¿Cómo sabemos que todos estos enfoques y construcciones dan como resultado la misma estructura, a saber $\mathbb{R}$ ? Además, ¿son los números reales el único campo completo y totalmente ordenado? En caso afirmativo, ¿por qué?

Answer 1

Para pintar un cuadro más completo, tienes razón en que una axiomatización puede muy bien no tener modelo. Una axiomatización carece de sentido si nada la satisface. Pero si podemos demostrar que existe un modelo, y los axiomas son las únicas propiedades que nos importan, entonces podemos trabajar felizmente dentro de la axiomatización para demostrar teoremas sobre la estructura que hemos axiomatizado. Eso es precisamente lo que hacemos cuando utilizamos una axiomatización de los números reales para demostrar teoremas sobre los números reales.

Ahora hay dos axiomatizaciones comunes de los reales. Una es una teoría de segundo orden incluido el axioma de completitud (todo subconjunto de los reales con un límite superior tiene un límite superior mínimo). Por sí solo, este axioma es inútil, porque no hay ningún axioma que afirme la existencia de ningún conjunto de reales. Sin embargo, cuando utilizamos esta teoría de segundo orden siempre estamos trabajando fuera de la teoría en el sistema fundacional (como la teoría de conjuntos ZFC) donde sí tenemos axiomas que permiten la construcción de subconjuntos de los reales. Esto es particular axiomatización que tiene un modelo único; hay un modelo único de la de segundo orden teoría de los reales hasta el isomorfismo. Eso implica inmediatamente que todas las estructuras que construyas (como la terminación Cauchy de los racionales o la terminación Dedekind de los racionales) que satisfagan esta axiomatización de segundo orden deben ser isomorfas entre sí.

La razón principal de la unicidad de los campos ordenados completos es que dos campos cualesquiera deben contener una copia isomorfa de los racionales, y cada elemento de cada campo corta los racionales del campo en dos partes, y la parte inferior tiene un límite superior mínimo, y que elementos diferentes cortan los racionales de maneras diferentes (por la propiedad arquimediana que se sigue también de la propiedad de completitud). Esto da una correspondencia uno a uno entre los reales de un campo y los reales del otro campo. Se puede decir que la clave está en la rigidez y la densidad de los racionales.

Sin embargo, la otra axiomatización común de los reales es teoría de campos reales cerrados . Nótese que esta axiomatización no n tienen un modelo único. Los reales computables forman un contable campo real cerrado, y satisface cada sentencia de primer orden que $\mathbb{R}$ satisface. Puede ser instructivo ver el mismo fenómeno con los números naturales, que forman el modelo único de los axiomas de Peano de segundo orden (que fue su formulación original) hasta el isomorfismo, mientras que hay muchos modelos no isomórficos de PA de primer orden. La distinción aquí entre el esquema de inducción de primer orden y el axioma único de inducción de segundo orden debe apreciarse para entender cómo la teoría de segundo orden puede precisar los números naturales a diferencia de la de primer orden. Más concretamente, la inducción de segundo orden se aplica a todos los subconjuntos de los números naturales (vistos desde el sistema fundacional), mientras que la inducción de primer orden sólo se aplica a los subconjuntos que pueden describirse mediante una fórmula aritmética. Hay un número incontable de subconjuntos, pero sólo un número contable de fórmulas.

Answer 2

El (falso 1 ) historia de las matemáticas es

• Creíamos entender muy bien los números reales
• Escribimos propiedades sencillas (creíamos) que satisfacen los números reales
• Comprobamos que estas propiedades son suficientes para demostrar a partir de axiomas todas las cosas que estábamos demostrando sobre los números reales

La singularidad, por cierto, viene de la tercera

(

A

₁

Answer 3

Una gran cantidad de libros dedicados al desarrollo del sistema numérico real (y otros sistemas de numeración) fueron publicados en la década de 1960. Durante los últimos años he estado manteniendo una lista de libros (independientemente de cuándo se publicará) cuando llego a ver uno en una biblioteca, y en las que me he topado hasta el momento se enumeran a continuación.

Tenga en cuenta que si ampliamos la lista de los libros de análisis real, "la transición a las matemáticas avanzadas", álgebra abstracta, la métrica de los espacios y/o topología, etc. que incluyen este tipo de tratamiento, la lista de libros sería de al menos varios cientos. Por lo tanto, he restringido la lista de abajo para sólo aquellos libros que son principalmente dedicado a este tema. Los enlaces que he proporcionado no son necesariamente de la misma edición que yo he dado información acerca de.

Además de lo que otros han recomendado, puedes probar a visitar una universidad cercana o de la universidad a la biblioteca y busque algunos de estos libros. Algunos de estos libros será probablemente más útiles que otros para lo que usted desea, y usted es probable encontrar otros libros en la misma ubicación de la estantería que no están en la lista de abajo.

[1] León Warren Cohen y Gertrude Ehrlich, La Estructura del Sistema numérico Real, La Universidad de la Serie en la Licenciatura de Matemáticas, D. Van Nostrand Company, 1963, viii + 116 páginas.

[2] Solomon Feferman, El Número De Sistemas. Fundamentos de Álgebra y Análisis, Addison-Wesley Publishing Company, 1964, xii + 418 páginas.

La 2ª edición fue publicada por el Chelsea Editorial en 1989 (xii + 418 páginas).

[3] Norman Tyson Hamilton y José Landin, la Teoría de conjuntos y la Estructura de la Aritmética, Allyn y Tocino, 1961, xii + 264 páginas.

[4] Edmund Jecheksel Landau, Fundamentos de Análisis, De 1951, el Chelsea Publishing Company, 1951, xiv + 134 páginas.

Traducción de Fritz Robert Steinhardt de la década de 1930 edición alemana (xiv + 134 páginas).

[5] Elliott Mendelson, los Sistemas de numeración y los Fundamentos de Análisis, Academic Press, 1973, xii + 358 páginas.

Reimpreso por Robert E. Krieger Publishing Company en 1985 (xii + 358 páginas). Reimpreso por Dover Editores en 2008 (xii + 308 páginas).

[6] Juan Meigs Hubbell Olmsted, El Número Real del Sistema, Appleton-Century Monografías en Matemáticas, Appleton-Century-Crofts, 1962, xii + 216 páginas.

[7] Francisco Dunbar Parker, La Estructura de los Sistemas de numeración, los Maestros. Las matemáticas de la Serie de Referencia, Prentice-Hall, 1966, xiv + 137 páginas.

[8] José [Joe] Buffington Roberts, El Número Real del Sistema en una Configuración Algebraica, Una Serie de Libros de Pregrado en Matemáticas, W. H. Freeman and Company, 1962, x + 145 páginas.

[9] Hugh Ansfrid Thurston, El Número del Sistema, Interscience Editores, 1956, viii + 134 páginas.

Reimpreso (ligeramente corregida) por Publicaciones de Dover, en 1967 y 2007.

Answer 4

Como afirma Pugh en Real Mathematical Analysis, los números reales son el único campo ordenado completo, hasta isomorfismo preservador del orden, que contiene los números racionales como subcampo ordenado. Supongamos $\mathbb{F}$ es un campo ordenado completo que contiene $\mathbb{Q}$ como un subcampo ordenado. Entonces el mapa $y \mapsto \{ q \in \mathbb{Q} :q < y \text{ in } \mathbb{F}\}$ es un isomorfismo conservador del orden de $\mathbb{F}$ à $\mathbb{R}$ donde $\mathbb{R}$ se considera como un conjunto de cortes Dedekind.

Answer 5

La unicidad de los números reales es un poco una fantasía que refuerza las ideas platonistas sobre las matemáticas, lo que puede o no ser malo. En cualquier caso, considere el siguiente experimento mental que debería indicar que incluso la unicidad de los números naturales $\mathbb{N}$ es dudoso:

¿Existe un conjunto de cardinalidad estrictamente comprendida entre $\mathbb N$ et $\mathbb{N}^{\mathbb N}$ ?

A un nivel más técnico, podría señalarse que la llamada categoricidad de los números reales depende implícitamente de la elección de la teoría de conjuntos de fondo. Si se cambia la teoría de fondo, cambian los números reales.

A un nivel más técnico, en la obra de Edward Nelson Teoría interna de conjuntos se pueden encontrar infinitesimales dentro de los números reales ordinarios. No es la idea que todos los universitarios tienen de los números reales, ¿verdad?

Así pues, esa "unicidad" es dudosa desde al menos dos puntos de vista: (1) la teoría no es única; y (2) el modelo no es único.