utilizando el análisis real o complejo resolver $\int_{0}^{\pi/2}\frac{x^m}{\sin x}dx$

Question

cerrada forma de %#% $ #%

Yo slove él algunos metros pero en general no he logrado.

Intenté por parte, por sustitución, mediante el uso de $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^m}{\sin x}\ dx$.

Supongo que $\sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ luego con cable serie geométrica a la respuesta, la usé y algo parece relacionados con la función Zeta.

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¿cualquier uno resolverlo utilizando el teorema del residuo o análisis?

Answer 1

Bueno eso es sólo el comienzo, pero no me gusta este pecado, por lo que he intentado esto: busqué una primitiva de $\frac{1}{\sin(x)}$, que es $\ln(\tan(\frac{x}{2}))$ $0 < x < \frac{\pi}{2}$ y utiliza el cambio de variable:

$$ u = \ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)\rightarrow du = \frac{dx}{\sin(x)}$$

$$x = 0 \rightarrow u = -\infty ;\quad x=\frac{\pi}{2} \rightarrow u=0 $$

Por lo tanto, si indican $I_m$ la integral, uno obtiene:

$$ I_m = \int_{-\infty}^0 \left({2\arctan(e^u)}\right)^m du = 2^m \int_{-\infty}^0 \left({\arctan(e^u)}\right)^m du $$

Si dejas: $t= e^u \rightarrow dt = e^u du,\ u = -\infty \rightarrow t = 0 ; $ $ u=0 \rightarrow t=1 $, se obtiene:

$$I_m = 2^m\int_{0}^1 \frac{{\arctan^m(t)}}{t} dt $$

Este es más fácil para tratar creo, tal vez el último cambio de variable no fue el mejor. Te edito si puedo terminar esto