Buena pregunta. Como has adivinado, nada puede escapar de un agujero negro, por lo que es imposible ver uno directamente. (La teoría cuántica de campos sí predice que los agujeros negros emiten una cantidad extremadamente pequeña de radiación térmica, pero es tan pequeña que no podemos detectarla desde la Tierra).
Los científicos suponen que los agujeros negros existen basándose principalmente en las predicciones de la relatividad general. En particular, la relatividad general nos dice que si una cantidad de masa $M$ está contenido en un volumen esférico de radio $r_s = \frac{2GM}{c^2}$ El espacio se deformará tan drásticamente que todos los caminos posibles dentro de esa esfera se dirigen hacia el interior, hacia el punto central. La superficie de esa esfera es el horizonte de sucesos, el límite del agujero negro. Ahora bien, te preguntarás cómo podemos estar tan seguros de que la relatividad general funciona para campos gravitatorios tan fuertes y, por tanto, de que los horizontes de sucesos existen. Pues bien, no podemos directamente confirmarlo, pero GR sí funciona para todo con el que lo hemos probado, así que no hay realmente ninguna razón para dudar de la predicción de los horizontes de sucesos.
Una vez establecido que los horizontes de sucesos (y, por tanto, los agujeros negros) están permitidos por la teoría, ¿cómo podemos detectar uno? El método original para detectar un agujero negro consiste en buscar emisiones muy intensas de rayos X y gamma. Éstas no proceden del propio agujero negro, sino del disco de acreción Las partículas de polvo y gas que han quedado atrapadas en el pozo gravitatorio del agujero negro y lo rodean preparándose para caer en él. Cuando las partículas se acercan mucho al horizonte de sucesos, chocan entre sí con mucha energía, y esas colisiones emiten una radiación de alta energía que podemos detectar. Obviamente, esto sólo ocurre si hay suficiente gas y polvo en las proximidades del agujero negro para formar un disco de acreción. Es posible que otros objetos muy densos tengan discos de acreción, pero basándonos en las propiedades de la radiación, podemos saber a qué velocidad se mueven las partículas, y así poner algunos límites al tamaño y la masa del objeto que orbitan. Si su radio es inferior a $r_s$ para su masa, entonces asumimos que es un agujero negro.
Más recientemente, se han realizado observaciones similares en las estrellas que orbitan alrededor del centro de nuestra galaxia y de otras galaxias. Al observar las posiciones de las estrellas a lo largo del tiempo, podemos analizar sus órbitas para determinar las características (tamaño y masa) de lo que están orbitando. Si el tamaño es menor que $r_s$ pero la relatividad general nos dice que el objeto es un agujero negro.