Evaluar

Question

$$\int_{-1}^{1}\int_{x}^{2x-1}dydx$$

$$

Mi intento:

$$I_1:=\int_{-1}^{1}\int_{x}^{2x-1}dydx$$

$$=\int_{-1}^{1}\bigg[\int_{x}^{2x-1}dy\bigg]dx$$

$$=\int_{-1}^{1}\bigg(x-1\bigg)dx=\boxed{\color{red}{-2}}$$

Ahora tengo que evaluar con el limis que cambian:

$$I_2:=\int_{-3}^{-1}\int_{-1}^{\frac{y+1}{2}}dxdy+\int_{-1}^{1}\int_{y}^{\frac{y+1}{2}}dxdy$$

1) ¿está bien que antes de cambiar los límites de la zona es negativa?

¿2) los nuevos límites que he hecho son correctos?

Answer 1

1. La primera integral debe ser %#% $ #%

porque $$\int_{-1}^t \int_{2x-1}^{x}dy\,dx$ $2x - 1 < x$

Con eso, el resultado es positivo

2. La segunda integral es correcta

Answer 2

Después de cambiar los límites:

$$I_2=\int_{-3}^{-1}\int_{-1}^{\frac{y+1}{2}}dxdy+\int_{-1}^{1}\int_{y}^{\frac{y+1}{2}}dxdy$$

$$=\underbrace{\int_{-3}^{-1}\bigg(\frac{y+1}{2}+1\bigg)}_{=\color{blue}1}dy+\underbrace{\int_{-1}^{1}\bigg(\frac{y+1}{2}-y\bigg)}_{=\color{blue}1}dy$$ $$$$

$$\Longrightarrow=1+1=2$$