Cobertura $\mathbb{R}^2$ con uncountably muchos segmentos de la línea de no degenerar desunido

Question

Es posible abarcar $\mathbb{R}^2$ con una cantidad no numerable de desunido no degenerada de los segmentos de línea?

Si una definición formal es necesario, vamos a definir un segmento de línea como un conjunto $\{(x, mx+c): x \in [a, b]\}$ para algunos fijos constantes $m, c, a, b \in \mathbb{R}$ o un conjunto $\{(u, x): x \in [a, b]\}$ para algunos fijos constantes $u, a, b \in \mathbb{R}$. Decimos que un segmento de línea definida de este modo es no degenerada si $a \neq b$, es decir, el segmento de línea que no es un punto.

Esta pregunta fue vagamente motivado por la observación de que es posible la cobertura de $\mathbb{R}$ con una cantidad no numerable de desunido no degenerada puntos. YuvalFilmus señala que la respuesta es negativa en el caso unidimensional.

Answer 1

La respuesta es SÍ, usted puede cubrir el plano por no degenerada de los segmentos de línea.

Está claro que uno puede cubrir

• cualquier $1 \times 1$ cerrado cuadrados (he.e los isométrica a $[0,1] \times [0,1]$ ) por segmentos de recta de longitud $1$.
• cualquier $1 \times n$ trimestre a abrir rectángulos ( es decir, aquellos isométrica a $[0,1) \times [0,n]$ ) por segmentos de recta de longitud $n$.

A continuación, proceder a la cubierta $\mathbb{R}^2$ por

1. primero colocar un $1 \times 1$ plaza cerrada en el centro.

2. rodean la $1 \times 1$ plaza cerrada por cuatro $1 \times 2$ trimestre a abrir los rectángulos. El "abrir" los lados de los rectángulos se enfrenta a "hacia adentro" y el cinco cuadriláteros juntos forman un $3\times 3$ plaza cerrada.

3. rodean la $3 \times 3$ plaza cerrada por cuatro $1 \times 4$ trimestre a abrir los rectángulos. El "abrir" los lados de nuevo frente "hacia adentro" y los nueve cuadriláteros juntos forman un $5 \times 5$ plaza cerrada.

4. Sólo tiene que repetir este procedimiento. Si usted tiene un $(2k-1) \times (2k-1)$ plaza cerrada, la rodean por los cuatro $1 \times 2k$ rectángulos para formar un $(2k+1) \times (2k+1)$ plaza cerrada.

La siguiente imagen ilustra la disposición de los cuadrados/rectángulos de segmentos de línea.

• Los segmentos de línea son representadas por las barras de color.
• Las líneas negras indican los límites de los cuadrados/rectángulos.

Answer 2

Cortar $\mathbb R^2$ en uncountably muchas copias de $\mathbb R^1$.