Pregunta sobre matrices cuyas filas y sumas de la columna son cero

Question

Estoy interesado en $n \times n$ matrices a través de algunas de campo $K$ todos en cuyas filas y todas sus columnas de suma cero.

Primera pregunta: ¿estas matrices tienen un nombre?

A la espera de una respuesta, voy a llamar a estos "null-matrices".

Segundo (principal) pregunta:

Dado $n$, existen subconjuntos $J \subset \{1, \ldots n\} \times \{1, \ldots, n\}$ de los índices que $$\sum_{(i, j) \in J} a_{i,j} = 0$$ para cada nulo de la matriz de $(a_{ij})_{i, j = 1 \ldots n}$?

Visualmente más: ¿se puede tomar un lápiz rojo y poner círculos rojos alrededor de algunas entradas en un (vacío) de la matriz, de modo que en cualquier forma que alguien que se llena la matriz con los elementos de $K$ para obtener un valor nulo de la matriz, la suma de la roja con un círculo las entradas siempre se suman cero?

Obviamente, la respuesta es sí, solo tome $J$ a ser un discontinuo de la unión de filas o discontinuo de la unión de las columnas. Así que mi pregunta es: ¿hay ejemplos de $J$ que no son de este formulario?

En general (es decir, sin especificar el campo sobre el que consideramos la matriz) espero que la respuesta sea no (pero por favor, demostrar que estoy equivocado) - sin embargo, para algunas combinaciones de $n$ y char($K$) la respuesta podría ser sí. En particular, para $n = 2$, char($K$) $=2$, la diagonal (es decir,$J = \{(1, 1), (2,2)\}$) es un ejemplo de el tipo de set que estoy buscando.

Hay más ejemplos como este?

Answer 1

Si $2=0$, los ejemplos pueden ser construidos de la partición del conjunto de índices de las filas y de columnas en dos subconjuntos $A$$B$, y tomando el subconjunto $(A \times A) \cup (B \times B)$.

No triviales existen ejemplos característicos $\neq 2$. Teniendo en cuenta las matrices que se $0$ fuera de un $2 \times 2$ menor muestra de que si un subconjunto cumple con las condiciones y contiene dos posiciones de la matriz que no comparten una fila o columnas, que ha de contener todos los $4$ esquinas de la $2 \times 2$ menor con esos dos puntos como una diagonal. Por lo tanto, el subconjunto de un producto Cartesiano de un subconjunto de filas con un subconjunto de las columnas. El único de estos conjuntos con la garantía de cero la suma de las entradas son los sindicatos de varios completar filas, o de varios completar las columnas.