Estoy tratando de resolver el ejercicio 9 en el capítulo 14 del Real Y Complejo Análisis de Walter Rudin:
Supongamos $g \in H(U), |\Re(g)|<1$$U$, e $g(0)=0$. Demostrar que $$|g(re^{it})|\le\frac2\pi\log\frac{1+r}{1-r}$$ $U$ es la unidad de disco.
Mis pensamientos:
Llame a $\Omega = \{x+iy:-1<x<1\}$. He construido un uno-a-uno de conformación de asignación de $\Omega$ a $ U$:$$f(z) = -i\frac{\exp(\frac\pi2iz)-1}{\exp(\frac\pi2iz)+1}$$ He aplicado el lema de Schwarz a$f\circ g$:$$\left| \frac{\exp(\frac\pi2ig(re^{it}))-1}{\exp(\frac\pi2ig(re^{it}))+1} \right| \le r$$
Pero no importa cómo puedo manipularlo, no puedo obtener un $|g(re^{it})|$ fuera de ella.
Otro enfoque: el Uso de la inversa de $f$:$$f^{-1}(z) = \frac2{\pi i}\log\frac{1+iz}{1-iz}$$
Mediante esta pregunta y la máxima módulo principio que obtengo: $$|g(re^{it})| \le \max_{t\in[0,2\pi]} |f^{-1}(re^{it})|$$
El lateral derecho llega a su máximo en $re^{3\pi i/2}$ wolfram alpha, pero no puedo hacerlo a través de álgebra o cálculo (ecuaciones y derivados demasiado complicado).
Siento que hay una manera más fácil y me estoy perdiendo algo. ¿Qué es?
