¿Cómo resolver el valor propio 10000th del oscilador anarmónicos?

Question

Dada una cierta Hamilton, por ejemplo,

$$ H = -\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2 } + x^4 . $$ , ¿qué métodos podemos utilizar para aproximar la $n$th autovalor, por muy grande $n$?

Para las pequeñas $n$ -- el estado del suelo y los primeros estados de baja energía -- los eigen-energías son fáciles de calcular, por ejemplo, con métodos numéricos, teoría de la perturbación, o incluso el método variacional. Pero la literatura estándar de QM no cubre el cálculo de muy alta eigen-energías.

¿Hay algún método fiable para aproximar $E_n$ grandes $n$, preferiblemente con algún tipo de control sobre el error?

Answer 1

Como @OON mencionado, la WKB es el arquetipo de la herramienta en la casa de campo de la industria de estudio de este sistema, empezando con Bender & Woo 1969 y Cornwall & Tiktopoulos de 1993 y en y en...

Al líder de la orden, la energía en WKB es bien conocido simplemente la cantidad de Bohr-Sommerfeld-Wilson condición de cuantización. Usted deducir correctamente que $\hbar$ es superfluo y absorbibles en las variables a 1, pero dejémoslo aquí, $$ \left (-\frac{\manejadores^2}{2} \partial_x^2 +x^4-E_n\right ) \psi_n(x)=0, $$ para conectar con 101 años de edad fórmulas, a saber, la semiclásica fase integral con puntos de inflexión en $x=\pm E_n^{1/4}$, $$ \int_{-E_n^{1/4}}^{E_n^{1/4}}dx \sqrt{2(E_n-x^4)}= (n+1/2)\pi \manejadores, $$ para n=0,1,2,3,...,10000, ... (El 1/2 es el llamado Maslov corrección, cf Sala de ch 15.2 .)

Esto es inmediatamente resuelto a $$ E_n=\left ( \frac{(n+1/2)\pi \manejadores}{\sqrt{2} C} \right )^{4/3} ~, $$ donde $C\equiv \int_{-1} ^1 dy \sqrt{1-y^4}= B(1/4,3/2)/2= \sqrt{\pi}~ \Gamma (5/4)/\Gamma (7/4) \sim 1.748$, por lo que puede omitir el 1/2 para su elegido n, para la cual el "muchas longitudes de onda en el" parte de la aproximación funciona demasiado bien.

De hecho, si usted persigue la referencias, verías que este sistema es el prototipo de laboratorio para WKB asymptotics métodos.