¿Cuál es la importancia real de que una función sea suave, aparte de que sea necesario para la analiticidad? ¿Cuál es el verdadero problema si la derivada 4323 tiene una discontinuidad?
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Harald Hanche-Olsen
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En la práctica, eso tiene poca o ninguna importancia. Sin embargo, la suavidad simplifica algunas pruebas y también algunas definiciones: Por ejemplo, la caracterización de un vector tangente en un punto $p$ de un múltiple $M$ siendo un funcional lineal $X$ en $C^\infty(M)$ satisfaciendo $X(fg)=X(f)g(p)+f(p)X(g)$ es útil a veces, pero no creo que su análogo para $C^n(M)$ retenciones. Sin embargo, puede hacer $C^n$ geometría diferencial con una definición más directa de los vectores tangentes.
Editar en respuesta a un comentario Vamos a trabajar a través de lo anterior en el caso $M=\mathbb{R}^d$ , dejando $p$ sea el origen. Observamos que para cualquier $f\in C^\infty(\mathbb{R}^d)$ $$\begin{aligned} f(x)-f(0)&=\int_0^1 \frac{d}{dt} f(tx)\,dt=\sum_{j=1}^d x^j f_j(x), \quad\text{where}\\ f_j(x)&=\int_0^1\partial_jf(tx)\,dt, \end{aligned} $$ donde $\partial_jf$ es la derivada parcial de $f$ con respecto a $x^j$ y sigo la convención común de escribir $x^j$ para la $j$ ª componente de $x$ . Ahora es fácil ver que $X(g)=0$ para una constante $g$ . También $f_j(0)=\partial_jf(0)$ por lo que aplicando $X$ a lo anterior obtenemos $$ X(f)=\sum_{j=1}^d X^j\partial_jf(0), \qquad\text{where $ X^j=X(x^j) $.}$$ En resumen, $$X=\sum_{j=1}^d X^j\partial_j.$$ En particular, el espacio de operadores lineales $X$ satisfaciendo $X(fg)=X(f)g(0)+f(0)X(g)$ est $d$ -y puede identificarse con el espacio tangente a $0$ .
Todo esto se rompe si reemplazo $C^\infty$ por $C^k$ para $k<\infty$ ¡! Por un lado, si $f\in C^k$ entonces no podemos decir $f_j\in C^k$ por lo que toda la prueba se viene abajo. Además, el espacio de "vectores tangentes" $X$ se convierte en infinito ¡dimensional! Véase [1]. (Aprendí esto de Warner's Fundamentos de las variedades diferenciales y los grupos de Lie .)
[1] W. F. Newns y A. G. Walker, Planos tangentes a una variedad diferenciable J. London Math. Soc. (1956) 31 , 400-407 (enlace directo a un pdf, quizás detrás de un muro de pago).
sewo
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La verdadera ventaja de la suavidad es que suponer que una función es suave nos libera de llevar la cuenta de exactamente cuántas de sus derivadas superiores necesita que existan para que sus cálculos sean válidos. Así es más fácil, y los matemáticos son perezosos.
También ayuda que (en el caso real) hay suficientes funciones suaves que este supuesto normalmente no tira nada que luego lamentarás haber perdido. A menudo puedes deshacerte de la suposición de suavidad mediante algún argumento de aproximación (a menudo implícito) al final del día, después de haber hecho el trabajo real en un bonito mundo hipotético en el que todo es suave.
En cambio, por ejemplo, suponer que todo es analítica es mucho más restrictiva y conlleva muchas consecuencias que ni siquiera son aproximadamente ciertas en los casos menos agradables.
Ron Gordon
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96158
Esta es una gran pregunta, en la que estaba pensando al responder una pregunta sobre cómo encontrar las "rodillas" de una sigmoidea , y ahí, estaba haciendo que el OP tomara la tercera derivada de la curva para hacerlo. Me preguntaba cómo se podría encontrar una curva natural en la que alguna derivada de alto orden fuera discontinua, y cómo se podría saber a partir de la curva original.
Las derivadas discontinuas intervienen en el comportamiento de las transformadas de Fourier. Consideremos $f(x) = x^2 e^{-x} \theta(x)$ donde $\theta(x) = 0 \, \forall \, x<0$ y es 1 en caso contrario. He aquí un gráfico:
Cerca de $x=0$ te costaría decir que esta función no es suave. Pero, como resulta, transformadas de Fourier de funciones puede recoger estas cosas porque FT de tales funciones tienen comportamiento algebraico en $\infty$ en lugar de un comportamiento exponencial. Por ejemplo, el FT de $f(x)$ est
$$\hat{f}(k) = -\frac{i \sqrt{\frac{2}{\pi }}}{(k+i)^3} = O\left ( \frac{1}{k^3} \right )$$
como $k \rightarrow \infty$ . En general, cuando hay una discontinuidad en el $m$ derivada de $f(x)$ el correspondiente FT $\hat{f}(k) = O(1/k^{m+1})$ . Por lo tanto, en su función hipotética con la discontinuidad en el $4323$ rd derivada, podría verificarlo tomando la FT, trazando su valor absoluto en un gráfico logarítmico y comprobando que la pendiente de la recta para grandes $k$ es realmente $-4324$ .
