Resultados conteo de lanzamientos de moneda

Question

No, no se rían, esto es una pregunta tonta, pero mi cerebro no funciona matemáticamente. Una pregunta en mi clase de matemáticas dice

Se lanzará una moneda 4 veces. Calcular la probabilidad de al menos 2 colas que se produzcan.

OK, así que sé que puedo averiguar cuál es el total de eventos se encuentran en la muestra, a continuación, averiguar cuántas formas posibles de al menos 2 colas que se están produciendo, y se dividen. Mi problema es que NUNCA puedo averiguar cuál es el total de los eventos que hay! Voy a empezar con HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, y así sucesivamente, pero siempre me pierdo en algún lugar a lo largo del camino, se pierde un evento, y nunca llegar a todos ellos. Mi libro dice que hay 16 diferentes posibilidades. Existe una mejor manera de averiguar cómo los diferentes eventos que puede pasar??

Answer 1

Para cada sorteo tiene dos resultados diferentes, hay cuatro lanzamientos, así que usted tiene $2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16$ resultados diferentes en total.

Se puede dibujar un árbol binario para visualizar los diferentes caminos para alcanzar un resultado.

Para este problema podría ser útil considerar la no muy interesante, eventos, aquí los que si no la cola ($1$ de los casos) y exactamente una cola ($4$ de los casos) es la tiró, así que debe de ser $16-5 = 11$ eventos con al menos dos colas.

Fuente de la imagen: Enlace

Answer 2

Si desea una lista de todos los eventos, lo importante es hacerlo de forma sistemática para que no te pierdas ninguna.

Por ejemplo, usted puede contar en binario:

$$0000 \\ 0001 \\ 0010 \\ 0011 \\ 0100 \\ 0101 \\ 0110 \\ 0111 \\ 1000 \\ 1001 \\ 1010 \\ 1011 \\ 1100 \\ 1101 \\ 1110 \\ 1111$$

y, a continuación, reemplazar cada una de las $0$ H y cada una de las $1$ por una T (o al revés).

(Por cierto, al final, es una buena idea para el recuento de entradas para comprobar que no se pierda uno. En este caso, el número total de entradas debe ser $2^4=16.)$

Answer 3

Como mvw dijo, hay un total de 16 diferentes resultados, que se utilizará como denominador.

Ahora usted necesita para encontrar el total de los resultados de al menos 2 colas que ocurren entre 4 coin flips. A continuación, divida este número por la cantidad total de resultados (16).

Hay ${^4C_2} + {^4C_3} + {^4C_4} = 6+4+1 = 11$ formas de obtener al menos 2 colas.

Por lo tanto $11/16$ o $68.75\%$ de probabilidad de al menos 2 colas que ocurren entre 4 coin flips

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PS: $^nC_r$ es el coeficiente binomial, también escrito como $\binom n r$ o $\frac{n!}{r!(n-r)!}$, y los recuentos de maneras para seleccionar $r$ cosas a partir de un conjunto de $n$; en este caso, el lanzar una moneda que girar a la cara.

Answer 4

Partición de los posibles resultados en tres grupos: $T_2$ (exactamente dos colas), $T_{>2}$ (más de dos colas), y $T_{<2}$ (menos de dos colas). Estos conjuntos son excluyentes y exhaustivas, por lo $P(T_2)+P(T_{>2})+P(T_{<2})=1$. Además, $P(T_{>2})=P(H_{<2})$, y por simetría, $P(T_2)+2P(T_{<2})=1$, lo $P(T_{2})=1-2P(T_{<2})$ no Es difícil hallar la probabilidad P(T_2), que es la probabilidad de que la secuencia de lanzamientos es un arreglo de $2$ $H$'s y $2$ $T$'s, de los cuales hay $4\choose2$ muchos, dando una probabilidad de ${4\choose2} / 2^4=\frac38$, lo $P(T_{<2})=\frac{1-\frac38}2=\frac5{16}$, y por lo tanto la probabilidad de tener no menos de $2$ colas es $1-\frac5{16}=\frac{11}{16}$.