¿Si W es una matriz aleatoria con varianza $\mathbb{E}[W W^{T}]$, lo ' s $\mathbb{E}[W^{T} P W]$?

Question

Conozco bastantes identidades sobre formas cuadráticas de vectores al azar, pero estoy teniendo dificultad persuadiendo a algo fuera de esta forma cuadrática de matrices al azar. Suponga que sé $\mathbb{E}[W W^{T}]$ $\mathbb{E}[W] = 0$. ¿Entonces puedo yo deducir un cerrado forma $\mathbb{E}[W^{T} P W]$ % matriz no-al azar $P$?

Editar Cambio dado de $\mathbb{E}[W^{T} W]$ $\mathbb{E}[W W^{T}]$, agregado $\mathbb{E}[W] = 0$.

Answer 1

Sencillamente, no se puede decir mucho, al menos no en el sentido de que se puede descomponer. Considere la posibilidad de la $(i,j)$ índice de $\mathbb{E}[W^{T} P W]$.

$$ \mathbb{E}[W^{T} P W](i,j) = \sum_{k1,k2}P(k1,k2) W(k1, i), W(k2, j) $$

Mientras que en el otro lado,

$$ \mathbb{E}[W W^{T}](i,j) = \sum_{k} W(i,k) W(j,k) $$

Para decir algo acerca de los primeros, lo que realmente se necesita es los términos de este último. Se $W$ un vector, de la matriz de covarianza $\mathbb{E}[W W^{T}]$ tendría sólo eso, pero tal como está usted solo puede recuperar de las combinaciones lineales de los términos sin una forma de distribuirlos.