Pruebalo $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\int^n_0xf(x)dx = 0$

Question

Que $f(x) \geq 0$ ser continua en el intervalo $[0, \infty)$ y Supongamos que $\int_0^\infty f(x)dx < \infty$. Demostrar que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\int^n_0xf(x)dx = 0$

Quiero usar alguna versión del teorema de convergencia dominada en algún lugar, y tengo que la integral es igual a $\displaystyle \int_0^1nyf(ny)dy$ mediante cambio de variables. Alguna ayuda sería genial. Gracias.

Answer 1

Poner $$g_n(x) = \frac{x}{n} f(x) \chi_{[0,n]}(x)$ $ entonces $ de $$\frac{1}{n}\int_0^n xf(x) dx = \int_{0}^\infty g_n(x) dx$, $|g_n(x)| \leq |f(x)| = f(x)$ % todo $x$y $g_n(x) \rightarrow 0$ pointwise. Por lo tanto se aplica el teorema de convergencia dominada y $$\begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\int_0^n xf(x) dx &= \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^\infty g_n(x) dx\\ &= \int_{0}^{\infty} \lim_{n \rightarrow \infty}g_n(x) dx \\ &= 0 \end {alinee el} $$