Partir de la primos en la fijación de campos

Question

Si $L_i/K$ es extensiones de Galois de campos de número y $i=1,\ldots,n$ $L=L_1\cdots L_n$ es la exclusión. Entonces es cierto que un alto $\mathfrak{p}$ $K$ se divide en $L$ si y sólo si divide en todas $L_i$. ¿Esto también tiene si $L_i$ no son extensiones de Galois de $K$?

¿La prueba de que sé con respecto a la fijación utiliza el hecho de que $L_i/K$ Galois, así que esto es cierto en el contexto más general y cómo uno probaría?

Answer 1

Esto es siempre. QiL publicado una solución local, y explicó que una dirección es trivial. En el otro sentido yo diría de la siguiente manera utilizando datos básicos acerca de la descomposición de los grupos. Deje $E/K$ ser normal cierre de $L/K$, y escribir $G=Gal(E/K)$, $G_i=Gal(E/L_i)\le G$ y $H=Gal(E/L)$. Deje $\mathfrak{P}$ ser cualquier primer ideal de $E$ sobre $\mathfrak{p}$, y vamos a $$D=D(\mathfrak{P}/\mathfrak{p}) =\{\sigma\G\mid \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}\le G$$ ser la descomposición del grupo. Es sabido que si $M$ es intermedio campo, y $\mathfrak{p}_M=\mathfrak{P}\cap M$, luego $e(\mathfrak{p}_M\mid\mathfrak{p})=f(\mathfrak{p}_M\mid\mathfrak{p})=1$ si y sólo si $M$ está contenida en la descomposición de campo $Inv(D)$, o, equivalentemente,$D\le Gal(E/M)$.

Por nuestra suposición de que esto es cierto, cuando los $M$ es uno de los campos de $L_i$. Por lo tanto, $D\le G_i$ para todos los $i$. Así también se $D\le H=\cap_i G_i$. Aplicando el resultado anterior en la dirección opuesta nos dice entonces que para el primer ideal $\mathfrak{p}'=\mathfrak{P}\cap L$ tenemos $e(\mathfrak{p}'\mid\mathfrak{p})=f(\mathfrak{p}'\mid\mathfrak{p})=1$. Todo el primer los ideales de la $\mathfrak{p}'$ $L$ sobre $\mathfrak{p}$ se incorporan de esta manera, por lo que la demanda de la siguiente manera.

Con hechos básicos acerca de la descomposición de los grupos en su lugar esto es más o menos una tautología, por lo que no sé, si esta respuesta es útil :-(

Answer 2

Si entiendo correctamente la pregunta, la respuesta debe ser no.

El uso de magma he comprobado los siguientes hechos:

$(5)$ se divide en la división de campo de la $x^3-2$ $\mathbb{Q}$ (es el producto de 3 distintas primer ideales) pero es inerte en $\mathbb{Q}(\zeta_3)$. Desde $split(x^3-2)=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \mathbb{Q}(\zeta_3)$ donde $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ no es un Galois de la extensión de este debe producir un contraejemplo.

Edit: Después de pensar un poco acerca de la pregunta me di cuenta de que probablemente significaba "divide completamente". Hasta ahora no he sido capaz de construir un contraejemplo para este caso .