Cómo maximizar o minimizar $f(x)=ax^2+bx$ ?

Question

Estoy tratando de auto-estudiar el cálculo desde Internet. He aprendido cosas sobre todo de Sitio OCW del MIT y también de otros sitios. Sin embargo, estoy atascado en este simple problema:

Encuentre el valor máximo/mínimo de $f(x)=ax^2+bx$ (donde a y b son constantes)

Primero podemos encontrar los puntos críticos resolviendo $f'(x)=0 \implies 2ax+b = 0 \implies x={-b\over2a}$ .

Pero no creo que sea la solución, porque $f(0)=a(0)^2+b(0)=0$ .

Así que, obviamente, el mínimo o el máximo debería ser $0$ ?

¿Qué he hecho mal?

(Perdón por hacer una pregunta tan básica, acabo de empezar a aprender cálculo).

Answer 1

El valor mínimo o máximo (habrá un máximo o un mínimo) vendrá dado por $$f\left(\frac{-b}{2a}\right) = a\left(\frac {-b}{2a}\right)^2 + b \left(\frac{-b}{2a}\right)= -\frac{b^2}{4a}$$

Efectivamente, el par ordenado, $$\left(\frac{-b}{2a}, -\frac{b^2}{4a}\right)$$ es el vértice de la parábola $ax^2 + bx$ .

El hecho de que el punto sea un máximo o un mínimo dependerá del signo de $a$ .

• Si $a<0$ entonces la parábola se abre hacia abajo, lo que significa que el vértice es donde $f(x)$ alcanza su máximo, no existiendo un mínimo.

• Si $a > 0$ entonces la parábola se abre hacia arriba, lo que significa que el vértice es donde $f(x)$ alcanza su mínimo, no existiendo un máximo.

• Y por supuesto, si $a = 0$ entonces no tenemos una parábola, sino una línea, $y = bx$ , con pendiente $b$ para el que no hay máximo ni mínimo. Ciertamente, si $b = 0,$ también, tenemos entonces la línea horizontal $y = 0$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que ya que $f'(x) = 2ax+b$ , $f'(0) = b$ . Si $b \ne 0$ , entonces $f$ es creciente o disminuye en $0$ , dependiendo de si $b > 0$ o $b < 0$ . Por lo tanto, $f$ no puede tener un máximo o un mínimo en $0$ si $b \ne 0$ .

Si $b = 0$ , entonces $f$ tiene un máximo (si $a < 0$ ) o mínimo (si $a > 0$ ) en $0$ .

Answer 3

Si $a=0$ entonces $f(x)=bx$ , lo cual es trivial.

Si $a\not =0$ , entonces tenemos la siguiente forma: $$f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b}{4a^2}.$$

Esto se llama parábola cuyo vértice es $(-b/(2a),-b/(4a^2))$ .

Entonces, si $x\in\mathbb R$ , sabemos lo siguiente :

• Cuando $a\gt 0$ , $f(x)$ no tiene el máximo y el mínimo es $f(-b/(2a))=-b/(4a^2)$ .

• Cuando $a\lt 0$ el máximo es $f(-b/2a)=-b/(4a^2)$ y $f(x)$ no tiene el mínimo.

Answer 4

Si se completa el cuadrado obtenemos la parábola

$$ y+\frac{b^2}{4a} = a\left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 $$

con vértice situado en el punto $ \left( -\frac{b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} \right) $ . Lo único que necesitas ahora es conocer algunas propiedades de la parábola para determinar su mínimo y su máximo. Te dejo que sigas con la tarea.