¿Cómo de pequeño es el círculo más pequeño que puede recorrer un coche?

Question

Digamos que tenemos un modelo de coche con dos ruedas traseras fijas y dos ruedas delanteras que se dirigen en el mismo ángulo:

• La distancia entre ejes $w$ es la distancia fija de los dos ejes de las ruedas.
• $\alpha_m$ es el ángulo máximo que podemos dirigir

Cuál es el radio $r$ del círculo izquierdo más pequeño que podemos manejar con la distancia entre ejes $w$ y el ángulo máximo de la izquierda $\alpha_m$ ?

Aclaración: Puedes suponer que el coche tiene sólo una rueda delantera y una trasera.

(¿Alguien sabe si hay libros sobre "física del automóvil" que traten estas cuestiones? Creo que tiene que haber mucho material al respecto, porque esto puede ser importante para cualquier juego de carreras de coches. Estaba pensando en cómo cambia la posición y la orientación de un coche cuando circula por $t$ segundos con la orientación inicial $\alpha$ y posición $(x,y)$ , dirección $\beta$ y la velocidad $v$ . Pero ni siquiera puedo responder a la pregunta anterior en este momento :-/ )

Answer 1

Obtener una respuesta exacta será complicado, porque implicará cuestiones como el deslizamiento de las ruedas en la carretera, el funcionamiento de los diferenciales, etc. Pero sospecho que se podría obtener una estimación aproximada, y un problema suficientemente interesante, considerando un "coche" con una sola rueda delantera y otra trasera, y encontrando el círculo tal que ambas ruedas sean tangentes al círculo en sus centros.

Editar: Me doy cuenta, mirando el primer diagrama en el papel J.W. Perry enlazó, que mi estimación es bastante terrible. Uno mucho mejor permite que la rueda delantera y la trasera estén en círculos diferentes. Debería ser bastante sencillo ver cómo hacerlo. La página 382 da un diagrama simplificado de dos ruedas que debería ayudar.

Answer 2

Pero los coches no funcionan así. Obviamente, el radio del círculo interior es menor que el radio del círculo exterior, por lo que las ruedas delanteras no pueden ser paralelas. Si insistes en que sean paralelas, desafiando el diseño real de los coches, entonces las ruedas resbalarán inevitablemente, y la respuesta es imposible de calcular sólo con las matemáticas.