Significado de Rays en el Gráfico Polar de Números Primos

Question

Recientemente comencé a experimentar con gnuplot y rápidamente hice un descubrimiento interesante. Grafiqué todos los números primos por debajo de 1 millón en coordenadas polares de tal manera que para cada primo $p$, $(r,\theta) = (p,p)$. No esperaba nada en particular, simplemente estaba probándolo. Los resultados son fascinantes.

Cuando se observan los números primos por debajo de 30000, se puede ver un patrón espiral:

Para comparar, aquí está el mismo gráfico con los múltiplos de 3 y 7 superpuestos en él. Los primos están en amarillo, los múltiplos de 3 y 7 en verde y rojo respectivamente.

Lo que realmente me resulta interesante, sin embargo, es el comportamiento cuando se amplía el rango. Los múltiplos de un número dado parecen espiralarse de la misma manera hacia el infinito, pero los primos comienzan a formar rayos en grupos de 3 o 4. Mira abajo:

Comparado con los múltiplos de 3 y 7 nuevamente:

Ahora, debo admitir que soy un matemático muy novato con poca experiencia más allá de la trigonometría. Justo estoy comenzando Cálculo y Matemáticas Discretas este próximo otoño.

Sé que hay algo llamado el Teorema de los Números Primos - ¿están relacionados estos patrones con él? ¿Son estos rayos el mismo fenómeno que las líneas diagonales encontradas en Espirales Ulam?

EDICIÓN: En respuesta a la explicación de Greg Martin, decidí agregar un par de gráficos más. Para ver por qué son relevantes, lee su respuesta.

$(r,\theta)=(n,n), n \in \mathbb{N}$

Answer 1

Lo que estamos viendo son progresiones aritméticas (no polinomios que producen primos) de primos, combinadas con un fenómeno clásico sobre aproximaciones racionales.

Cuando los enteros (o cualquier subconjunto de ellos) están representados por los puntos polares $(n,n)$, por supuesto los enteros que están cerca de ser un múltiplo de $2\pi$ de distancia entre sí estarán cerca del mismo rayo central. Descubrir cuándo los enteros están cerca de ser múltiplos de $2\pi$ de distancia es un trabajo perfecto para las fracciones continuas. La fracción continua de $2\pi$ es $\langle 6; 3,1,1,7,2,146,\dots\rangle$, dando los convergentes $$ \left\{6,\frac{19}{3},\frac{25}{4},\frac{44}{7},\frac{333}{53},\frac{710}{113},\frac{103993}{16551},\dots\right\}, $$ que son las aproximaciones racionales de $2\pi$ que dominarán la imagen en diferentes escalas.

Por ejemplo, si graficas los puntos polares $(n,n)$ para $1\le n\le 25000$, notarás que los puntos se alinean en $44$ espirales: saltar de $n$ a $n+44$ es casi lo mismo que dar siete vueltas al círculo (nota el convergente $\frac{44}7$ que aparece); moverse de $n$ a $n+1$ avanza $7$ espirales. Cada espiral corresponde a una progresión aritmética $a\pmod{44}$; pasar de una espiral a la siguiente en sentido contrario a las agujas del reloj corresponde a cambiar la progresión aritmética de $a\pmod{44}$ a $a+19\pmod{44}$ (nota que $19\equiv7^{-1}\pmod{44}$).

Si en lugar de eso graficas solo los primos $(p,p)$, obtendrás una representación razonable en las $\phi(44)=20$ espirales que corresponden a progresiones aritméticas $a\pmod{44}$ donde $\gcd(a,44)=1$, y ningún primo en las otras $24$ espirales. Eso es lo que estamos viendo en las dos primeras imágenes.

A medida que la escala se aleja, estas espirales particulares se vuelven más apretadas y más difíciles de ver (pasa de la 1ra imagen a la 5ta, luego la 3ra, luego la 4ta), y el siguiente convergente toma el control. En este caso, el convergente $\frac{710}{113}$ es una aproximación racional extremadamente buena de $2\pi$ (como sabemos por el gran cociente parcial $146$). Por lo tanto, los puntos enteros $(n,n)$ se agruparán en $710$ espirales, pero estas espirales están tan cerca de ser líneas rectas al principio que casi no parecen espirales, y persisten por un intervalo grande de posibles escalas. Cada rayo corresponde a una progresión aritmética $a\pmod{710}$.

Cuando solo graficamos puntos primos $(p,p)$ (la 4ta imagen es la mejor aquí), solo veremos las $\phi(710)=280$ progresiones aritméticas $a\pmod{710}$ donde $\gcd(a,710)=1$. El hecho de que los rayos visibles estén principalmente agrupados en grupos de cuatro es consecuencia de que $5\mid710$ y por lo tanto cada quinto rayo no contiene primos. Realmente, sin embargo, estamos viendo cuatro de cada diez rayos en lugar de cuatro de cada cinco; las progresiones aritméticas $a\pmod{710}$ con $a$ par no tienen primos en absoluto y por lo tanto son invisibles. Hay cuatro grupos excepcionales que contienen solo tres rayos en lugar de cuatro; estos corresponden a las cuatro progresiones aritméticas $a\pmod{710}$ donde $a$ es un múltiplo de $71$ pero no es múltiplo de $2$ o $5$.

Answer 2

$3$Azul$1$Marrón ha dado una explicación hermosa a los patrones de espiral y rayo. Por favor mira su video titulado "¿Por qué los números primos hacen estas espirales?"