Encuentra todos los enteros positivos $n$ tal es esa suma de digitos de $2^n$ $n$.

Question

Por ejemplo, $2^5=32$$3+2=5$. Del mismo modo, se puede demostrar que funciona para $2^{70}$. El uso básico de los resultados en aritmética modular, se puede demostrar que $n$ tiene que ser de la forma $18k+5$ o $18k+16$ donde $k$ es entero no negativo. Los dos ejemplos satisfacer el formulario (por $k=0$$k=3$) pero yo no era capaz de encontrar otros ejemplos. Yo no sé que $2^n$ $\left \lfloor n\cdot \log_{10}2\right \rfloor+1$ dígitos que, junto con el hecho de que el promedio de valor de los dígitos es $4.5$, implica que el promedio de la suma de dígitos es acerca de $1.35n$. Claramente, este es mucho más grande de lo $n$ (para $n$) por lo que puede ser que ningún otro $n$ satisface la pregunta que me plantea.

Alguna idea de cómo proceder?

Answer 1

Aquí están las heurístico consideraciones:

Supongamos que para cada entero positivo $n$ le llevó a $c n$ variables aleatorias iid $X_i(n)$ (donde $4.5 c > 1$), teniendo cada uno de los valores de $0,\ldots,9$, con igual probabilidad, y deje $S_n$ ser la suma de los mismos. Según Cramer Teorema de la teoría de la Las grandes Desviaciones, $\log P(S(n) \le n)$ es asintótica a una negativa constante de veces $n$ (donde la constante se puede calcular, pero que no se moleste). En particular,$\sum_{n=1}^\infty P(S(n) \le n) < \infty$. Entonces, según Borel-Cantelli, casi seguramente sólo un número finito de la eventos $S_n \le n$ se producen. Con un poco más de trabajo se puede estimar el número esperado de ocurrencias.

Por supuesto, los dígitos de los poderes de $2$ no son realmente aleatorios, pero es bastante razonable esperar que, sobre esta base, que hay sólo un número finito $n$ para el cual la suma de los dígitos de $2^n$ es en la mayoría de las $n$.

Answer 2

No una respuesta, pero quería compartir una gráfica de la suma de los dígitos $a(n)$ dividido por $n$. Como puede verse a continuación, racimos muy bien en torno a $1.35n$, lo que confirma su análisis.

OEIS dice "se cree que las $a(n) \sim n \cdot (9/2)\log_{10}2$, pero este es un problema abierto". Por supuesto, usted no necesita esta en plena para demostrar lo que usted desee, sólo tiene que $a(n) > 1.2 n$ (por ejemplo) por $n>70$.

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