¿Problema del cumpleaños - empresa estadísticas promedio o extraño?

Question

Tuve un cumpleaños pregunta del problema con el que estoy muy interesado en saber la respuesta de:

En un grupo de 2.000 personas, ¿cuál es la probabilidad de que un día, durante el año en el que nadie tiene ese particular día de nacimiento? ¿Qué acerca de la probabilidad de tener 10 días de no tener un cumpleaños dentro de ellos?

Para la historia de la vida real, yo trabajo para una empresa que acabamos de descubrir que hay más de 10 días que nadie tiene un cumpleaños. Nos pareció extraño, pero nos preguntábamos si este en realidad era un resultado esperado. Yo no sabía dónde más recurrir. Gracias de antemano por tu entrada!

Answer 1

Si hay 2000 cumpleaños al azar (de manera uniforme para la simplificación) que se distribuyen a más de 365 días (no haremos caso de año bisiesto), esto da un promedio de $\frac{2000}{365}\approx 5.48$ cumpleaños por día. A continuación, el número de cumpleaños en cualquier día en particular sería aproximar por una variable aleatoria de Poisson con $\lambda = 5.48$. Por lo tanto la probabilidad de $k$ cumpleaños en un día dado, sería $e^{-5.48}\cdot\frac{5.48^k}{k!}$. Por lo que la probabilidad de un día en particular no tener los cumpleaños se acerca $e^{-5.48}\approx .00417$. Ya que hay 365 días en el año, el número de cumpleaños de los días libres se espera que sea alrededor de $365(.00417)\approx 1.5$. Por lo $10$ parece bastante alto para el número de cumpleaños de días libres.

P. S. me escribió algo de código en Python para simular la situación. Me encontré 5000 veces. El mayor número de ausencias en los cumpleaños que vi fue de 7. El número promedio de perdidas cumpleaños fue 1.508.

Answer 2

Si todos los cumpleaños son independientes y distribuidos de manera uniforme en todo el año, cada empleado tiene la oportunidad de $\frac{364}{365}$ de evitar ese día. (Estoy ignorando los años bisiestos por simplicidad).

La posibilidad de que todas 2000 a las personas a evitar el día elegido es $(\frac{364}{365})^{2000}\approx 0.00414 $.

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Cómo improbable que es que hay diez días en los que todo el mundo evita? Si diez particular días son fijos, la respuesta es, obviamente,$(\frac{355}{365})^{2000}\approx 10^{-24}$.

Sin embargo, este cálculo no es sencillo generalizar a "cualquier conjunto de diez días", porque luego tiene que salir de la suposición de independencia detrás -- "nadie tiene un cumpleaños en el 1 de enero hasta el 10" no independiente "nadie tiene un cumpleaños, el 11 de enero por 21".

Si copiamos y de ignorar el problema, podemos multiplicar nuestra $10^{-24}$ con el número de máximo de 10 días subconjuntos $\binom{365}{10}\approx 10^{19}$ para obtener una superior límite sobre 1/132,000 para la probabilidad de tener al menos 10 de no-cumpleaños en un año.

Answer 3

Como se ha dicho, cualquier día específico es sin cumpleaños con probabilidad $p=(1-\frac1{365})^n\approx 0.0041$. Si repetimos un experimento con un éxito probabilidad $365$ momento, el número esperado de éxitos es $np\approx1.51$ y la desviación estándar es $\sqrt{np(1-p)}\approx1.23$. Entonces diez días libre de cumpleaños son casi $7\sigma$ por encima de la media, un evento altamente improbable.