Demostrar formalmente que el conjunto de funciones continuas no es mensurable

Question

Deje $C(\mathbb{R})=\{ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \colon \ f \text{ continuous}\}\subseteq \mathbb{R}^{\mathbb{R}} $. Cómo probar formalmente que $C(\mathbb{R}) \notin \mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{R}})$ (el producto sigma álgebra)?

El clásico de la prueba, dijo que $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{\mathbb{R}})$ fib existe $J\subseteq \mathbb{R}$ $|J|\leq \aleph_0$ $B\in \mathcal{B}(\mathbb{R^J})$ tal que $A=B \times \mathbb{R}^{\mathbb{R}\setminus J}=\{f \in \mathbb{R}^\mathbb{R} \colon  \ (f(j) \colon \ t \in J) \in B\}$. En términos más simples, $A$ sólo puede tener contables restricciones, pero el conjunto de funciones continuas tienen innumerables restricciones, ya que cada función en $C(\mathbb{R})$ debe ser continua en cada punto de $x \in \mathbb{R}$.

La última parte de esta prueba siempre no me ha satisfecho del todo, y realmente no sé cómo hacer esta prueba formalmente.

Cualquier ayuda o referencias que será apreciado.

Answer 1

He aquí una argumentación directa siguientes tomasz la sugerencia. Vamos a tomar como dada su caracterización de los conjuntos medibles $\mathcal{B}(\mathbb{R}^\mathbb{R})$.

Deje $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^\mathbb{R})$ ser arbitraria. Vamos a mostrar a $A \ne C(\mathbb{R})$. Si $A = \emptyset$ hemos terminado. De lo contrario, supongamos $f \in A$. Si $f$ no es continua, hemos terminado. De lo contrario, supongamos $f$ es continua. Sabemos $A$ es de la forma $A = B \times \mathbb{R}^{\mathbb{R} \setminus J}$ donde $B \subset \mathbb{R}^J$ $J$ es en la mayoría de los contables. Desde $\mathbb{R}$ es incontable, $\mathbb{R} \setminus J$ es no vacío, así que vamos a $y \in \mathbb{R} \setminus J$. Definir $g$$g(y) = f(y)+1$$g(x) = f(x)$$x \ne y$. A continuación,$g \in A$, pero $g$ es, ciertamente, no continuo.

Answer 2

Vamos a considerar una asignación de $T:C(R)\to R^{Q}$ definido por $T(f)=(f(q))_{q \in Q}$ donde $Q$ denota un conjunto de todos los números racionales de $R$. Es obvio que $T$ es inyectiva lo cual implica que $de la tarjeta(C(R))\le la tarjeta(R^Q)=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}= 2^{\aleph_0\times \aleph_0}=2^{\aleph_0}$, where $\aleph_0$ denota la cardinalidad de todos los números naturales.

Si asumimos que el $C(R)$ es medible con respecto a la topología producto, a continuación, habrá una contables conjunto de parámetros $J \subset R$ y un no-vacío Borel subconjunto $A \subseteq R^J$ tal que
$C(R)=A \times R^{R \setminus J}$. Observe que $$card(A \times R^{R \setminus J})\ge 1 \times card(R^{R \setminus J})=card(R^R)={2^{\aleph_0}}^{2^{\aleph_0}}=2^{2^{\aleph_0}}>2^{\aleph_0}$$ y obtenemos la contradicción.