Una interesante semi-lineal de la PDE problema

Question

Suponga $u\in H^1(\mathbb{R}^n)$ tiene soporte compacto, y asumir que es una solución débil de la semi ecuación lineal $$ -\Delta u+c(u)=f\;\;\text{en}\;\mathbb{R^n} $$ donde $f\in L^2(\mathbb{R^n})$ $c:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función suave con $c(0)=0$$c'\ge 0$. Demostrar que $u\in H^2(\mathbb{R^n})$.

Yo sé exactamente cómo probar esta tras la pista de los libros de texto por "diferencia " cociente" método. Sin embargo, mi amigo me dijo que puede ser demostrado mediante la transformación de Fourier y no suponga $c' \ge 0$.

Cualquier sugerencia? Gracias!

Answer 1

Gracias por Jose27 la ayuda, finalmente me di cuenta de esto.

Primer paso:

Desde $u$ tiene soporte compacto y $c(0)=0$, e $c(x)$ es continua, $c(u(x))$ es continua y tiene soporte compacto y así es en la $L^2(R^n)$.

Segundo paso:

Tomar la transformada de Fourier de $$-\Delta u+c(u(x))=f(x)$$ A continuación, puede ponerse $$|\xi|^2\hat u(\xi)+\widehat{c(u)}(\xi)=\hat f(\xi)$$

De ello se sigue desde el primer paso que $\widehat{c(u)}(\xi) \in L^2$. Por lo tanto $|\xi|^2\hat u(\xi) \in L^2$

También sabemos $\hat u \in L^2$

Por lo $(1+|\xi|^2)\hat u(\xi) \in L^2$

De ello se desprende que $u \in H^2$.