Los modelos simples que presentan topológica de las transiciones de fase

Question

Hay un número de sistemas físicos con las fases descritas por topológicamente protegido invariantes (Hall cuántico fraccionario, aislantes topológicos), pero ¿cuáles son los más simples modelos matemáticos que presentan topológica de las fases? Es el tóricas de código tan simple como podemos ir?

Edit: para que quede claro, estoy hablando de las fases significado estados de la materia, y no sólo la fase geométrica que una función de onda recogerá en virtud de transporte paralelo en un trivial espacio de configuración. Estoy buscando modelos simples donde uno puede hacer un diagrama de fase, y como una función de la disposición acoplamientos hay un cambio en alguna propiedad topológica del sistema.

(Por ejemplo, en el XY imán, descuidando obligado vórtice antivortex la formación de la pareja, hay una inestabilidad en la temperatura finita para la creación de un único vórtice, que es topológicamente distintos desde el vórtice del estado libre.)

Answer 1

Creo que es necesario definir lo que significa un "topológico de estado de la materia", ya que el término es utilizado en varios no equivalentes maneras. Por ejemplo, el tóricas de código que usted menciona, es un tipo muy diferente de topológica de la fase de aislantes topológicos. De hecho, uno podría argumentar que todos los aislantes topológicos (excepto tal vez el Hall Cuántico Entero, de la clase a en la clasificación general) son sólo topológico efectos en lugar de la verdadera topológica de las fases, ya que están protegidos por discreto simetrías (inversión de tiempo, las partículas de agujero o quiral). Si estas simetrías son de forma explícita o de forma espontánea roto, a continuación, el sistema se podría convertir en una trivial aislante.

Pero uno de los más simples modelos de celosía (mucho más sencillo que el tóricas de código, pero también no es tan ricos) que conozco es la de los dos siguientes de la banda (modelo de escrito en el k-espacio)

$H(\mathbf k) = \mathbf d(\mathbf k)\cdot\mathbf{\sigma},$

con $\mathbf d(\mathbf k) = (\sin k_x, \sin k_y, m + \cos k_x + \cos k_y)$ $\mathbf{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ son las matrices de Pauli. Este modelo pertenece a la misma topológico de la clase como el IQHE, lo que significa que no tiene tiempo de reversión de partícula del agujero o de la simetría quiral. El espectro está dado por $E(\mathbf k) = \sqrt{\mathbf d(\mathbf k)\cdot\mathbf d(\mathbf k)}$, y que el modelo está clasificado por el primer número de Chern

$C_1 = \frac 1{4\pi}\int_{T^2}d\mathbf k\;\hat{\mathbf d}\cdot\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_x}\times\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_y},$

donde $T^2$ es el toro (que es la topología de la zona de Brillouin) y $\hat{\mathbf d} = \frac{\mathbf d}{|\mathbf d|}$. Cambiando el parámetro $m$ el sistema puede ir a través de un quantum punto crítico, pero esto sólo puede suceder si la mayor parte se cierra la brecha. Así que la solución de la ecuación de $E(\mathbf k) = 0$$m$, uno puede ver donde hay transiciones de fase. Entonces, uno puede calcular el número de Chern en los intervalos entre estos puntos críticos y de encontrar

$C_1 = 1$ $0 < m < 2$, $C_1 = -1$ para $-2 < m < 0$ $C_1 = 0$ lo contrario.

Por lo tanto, hay tres fases diferentes, uno triviales y no triviales. En la no-trivial fases el sistema ha cuantificado Sala de respuesta y protegido quirales borde de estados unidos (el cual puede ser fácilmente visto por poner bordes a lo largo de uno de los ejes y diagonalizing el Hamiltoniano en un equipo).

Si uno toma el continuum límite, el modelo se reduce a un 2+1 dimensiones masivas Hamiltoniano de Dirac y creo que el mismo se pueden extraer conclusiones en este continuo límite, pero la topología entra como la paridad de anomalía.

Más información se puede encontrar aquí: http://arxiv.org/abs/0802.3537 (el modelo es presentado en la sección IIB).

Esperamos que encuentre útil.

Answer 2

Esta es una muy buena pregunta. Permítanme darles un poco de tierra en primer lugar.

Durante mucho tiempo, los físicos pensaban todas las diferentes fases de la materia son descritos por la ruptura de la simetría. Como resultado, todo el continuo de las transiciones de fase entre los ruptura de la simetría de las fases implican un cambio de simetría.

Ahora sabemos que hay un nuevo tipo de fases de la materia más allá de la ruptura de la simetría -- orden topológico. Así que debemos tener nueva fase continua transiciones entre esos topológicamente ordenadas por fases. Los nuevos continua de las transiciones de fase no cambie ninguna simetría (es decir, las dos fases conectadas por la transición tienen la misma simetría). Para tener una intuición acerca de los nuevos tipo de la fase de la transición, naturalmente preguntar, ¿cuáles son los modelos simples que presentan topológica de las transiciones de fase?

Heidar ha dado una muy buena y simple modelo. Aquí voy a enumerar algunos de los trabajos de investigación sobre este tema (por favor, siéntase libre de añadir si usted sabe más papeles)

• X.-G. Wen y Y.-S. Wu, Phys. Apo. Lett. 70, 1501 (1993).
• W. Chen, M. P. A. Fisher, y Y.-S. Wu, Phys. Apo. B 48, 13749 (1993).

Estos dos documentos se describen continua de las transiciones de fase entre FQH-FQH o FQH-Mott-insultor inducida por potenciales periódicos.

• N. Leer y D. Green, Phys. Apo. B 61, 10267 (2000).

El documento describe la transición continua entre el fuerte y el débil p-wave/onda-d BSC superconductores. Heidar el ejemplo es similar a la de este trabajo.

• Xiao-Gang Wen, Phys. Apo. Lett. 84, 3950 (2000). cond-mat/9908394.

El documento describe continuas transiciones entre los de doble capa FQH estados inducidos por la interlámina de túneles y/o acoplamiento

• Maissam Barkeshli, Xiao-Gang Wen, Phys.Rev.Lett.105 216804 (2010).

El documento describe una transición continua entre entre un Abelain FQH estado y no Abelian FQH estado inducido por un anyon condensación.

Me gustaría conocer más ejemplos de topológica de las transiciones de fase.

Answer 3

Los llamados cristales líquidos liotrópicos presentan varios topológica de las transiciones. La topología de un espacio real de los cambios durante estas transiciones. El más famoso de ellos es el de la transición a la llamada, esponja de fase. Pero también hay más simplemente. Por ejemplo, vesículas lipídicas son conocidos a transformar en una cadena de perlas (que todavía son topológicamente equivalente a una esfera), pero luego se separaron el uno del otro (lo cual ya es un cambio topológico). Las células vivas a menudo se dividen vesículas formadas por una parte de la membrana. El topológica de la transición está involucrado en este proceso.

Sería mucho mejor, si se especifica que los fenómenos que tienen en mente, ya que varias cosas pueden ser considerados bajo este nombre general.

Por ejemplo, las transiciones de la orden de 2,5 han sido considerados una vez para explicar Mott transiciones en algunos materiales. Allí la superficie de Fermi se somete a la fase de transformación topológica

Answer 4

Por lo que yo entiendo, "quantum fases" o "Baya-Pancharatnam fases" son ejemplos de "topológico fases". Ver Y Ben-Arieh 2004 J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 6 R1, "Berry y Pancharatnam Topológica de las Fases de la Atómica y Óptica de los Sistemas", http://arxiv.org/abs/quant-ph/0402003 .

En virtud de esta definición de los términos, el ejemplo más sencillo de topológica es la fase de la transición de los estados en virtud unitaria de transformación en el spin-1/2 para una sola partícula. Esta es la Baya o Pancharatnam fase.

Considere la posibilidad de un spin-1/2 partícula que comienza en un estado de spin-up (+z). Su giro se mide en las direcciones x e y y, a continuación, en la dirección z. Si los resultados de estas mediciones son que su giro es de +x, +y, y +z, su regreso a la +z caso será con un quantum de la fase de $\pi/4$ como ahora me muestran:

Vamos $\sigma_x$, $\sigma_y$, y $\sigma_z$ ser la Pauli spin matrices. Entonces $(1+\sigma_x)/2$, $(1+\sigma_y)/2$, y $(1+\sigma_z)/2$ son la proyección de los operadores de spin en el +x, +y, y +z direcciones. El operador para una partícula que se va de la vuelta +z +x +y y de vuelta a +z en una serie de mediciones es el producto de la proyección de los operadores que se pueden simplificar de la siguiente manera:

$(1+\sigma_z)/2\;(1+\sigma_y)/2\;(1+\sigma_x)/2\;(1+\sigma_z)/2 = (e^{i\pi/4}/\sqrt{8})\;(1+\sigma_z)/2$.

Así que si dejamos $|+>$ ser tirada, entonces tenemos que la amplitud para una partícula que se va a través de esta secuencia de estados es: $<+|\; (1+\sigma_z)/2\;(1+\sigma_y)/2\;(1+\sigma_x)/2\;(1+\sigma_z)/2\; |+> = e^{i\pi/4}/\sqrt{8}$.

El $\pi/4$ es el topológica de la fase. El $1/\sqrt{8}$ es la reducción de la amplitud debida a ir a través de las mediciones. He escrito esto en la memoria, no es raro tengo el signo equivocado. :(

Por el camino, por el spin-1/2 y spin-1, la topológico fase está dada por la mitad de la zona (en steradians) tallado en la esfera de Bloch por la secuencia de estados. Para el ejemplo anterior, el área de tallado es un octante. Este tiene una superficie de $(4\pi) /8 = \pi/2$, por lo que la topológico fase es $\pi/4$.

Answer 5

El topológica de las transiciones de fase de preguntar acerca de presumo que es la descomposición de un Landó de electrones fluido donde las fluctuaciones cuánticas son comparables a las fluctuaciones térmicas. Existe un amplio conjunto de publicaciones sobre este tema con metales pesados y la cuantía de puntos críticos. Cubrovic ha encontrado paralelismos con los Anuncios de~CFT en dichos sistemas.