Juego de poder de un conjunto con un conjunto vacío

Question

Cuando un conjunto tiene un conjunto vacío como un elemento, por ejemplo,$ \{\emptyset, a, b \}$. ¿Cuál es el powerset?

Es: $$ \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{a\}, \{b\}, \{\emptyset, a\} \{\emptyset, b\}, \{a, b\}, \{\emptyset, a, b\}\}$$

O

$$ \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{\emptyset, a\} \{\emptyset, b\}, \{a, b\}, \{\emptyset, a, b\}\}$$

O $$ \{ \{\emptyset\}, \{a\}, \{b\}, \{\emptyset, a\} \{\emptyset, b\}, \{a, b\}, \{\emptyset, a, b\}\}$$

La confusión surge para mí porque, el powerset de cada conjunto no vacío tiene un conjunto vacío. Bien con el juego original ya tiene el conjunto vacío. Así que no se necesita un subconjunto de un conjunto vacío.

De alguna manera, la primera parece correcto. Sin embargo, me parece que no puede aceptarlo.

Answer 1

La primera de ellas es correcta.

Esto es debido a que $\emptyset$ $\{\emptyset\}$ son diferentes. El primero es un conjunto vacío, mientras que el segundo es un conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío.

Ambos son subconjuntos del conjunto dado. Esto es debido a que el $\emptyset$ es el subconjunto de todo conjunto, y como le sucede a ser un elemento del conjunto dado, el conjunto que contiene como su elemento es también su subconjunto.

Answer 2

Si un conjunto $A$ es tal que $\emptyset\in A$, su poder debe necesariamente contener estos dos juegos:

• $\emptyset$ (como todos los otros conjuntos de poder), correspondiente a la selección nada de $A$ (no $\emptyset$, lo cual es algo)
• $\{\emptyset\}$, que corresponde a la selección de $\emptyset$ sólo

Por lo tanto, sólo la primera de su propuesta de respuestas es correcta, como usted piensa.

Answer 3

Sus sugerencias se diferencian por tener $\emptyset$ y/o $\{\emptyset\}$ incluido o no.

• Tenemos $\emptyset\in\mathcal P(X)$ porque $\emptyset\subseteq X$ (que sirva para cualquier otro$X$)
• Tenemos $\{\emptyset\}\in\mathcal P(X)$ porque $\{\emptyset\}\subseteq X$ (que es el caso debido a que $\emptyset\in X$ en este problema específico)

Por lo tanto, su primera variante es la correcta (y los otros dos son incorrectas porque los $\emptyset\ne\{\emptyset\}$).