Media de registro de cdf

Question

Deje $CDF$ ser la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar. Deje $Z$ ser una variable aleatoria normal estándar.

A continuación, $CDF(Z)$ es distribuido uniformemente en la unidad de intervalo, de modo que por integración se puede demostrar que $E(ln(CDF(Z))) = -1$.

Mi pregunta: hay una manera fácil de calcular $E[\ln(CDF(Z + c))]$ constante $c$?

Lo que realmente estoy buscando es $E[\ln(CDF(Z + c))]$ $(-\infty, 0]$ intervalo y el $(0, \infty)$ intervalo.

Answer 1

En resumen no hay camino "fácil" para ello, y Dave se ha intentado un par de enfoques sensatos. Un enfoque tal vez vale la pena intentarlo es taylor ampliar ya que su función es suave y la analítica, y tenemos una forma simple para los momentos de la normal estándar:

Observe que

$L^* = \ln(\Phi(X))$

$L = \frac{\phi(x)}{\Phi(x)}$

$L' = \frac{\phi(x)^2}{\Phi(x)^2} - x \frac{\phi(x)}{\Phi(x)} = L(x)^2 - xL(x)$

$L'' = 2LL'-L-xL' = 2L^3 - 3xL^2 +(x^2-1) L$

$L''' = 6L^2L' - 6xLL'-3L^2+2xL+(x^2-1)L' = 6L^4-6xL^3-6xL^3+6x^2L^2-3L^2 + 2xL+(x^2-1)(L^2-xL)$

$ =6L^4-12xL^3+(7x^2-4)L^2 + (3x-x^3)L$

Yo había esperado que podría detectar un patrón no incolving polinomios de Hermite o algunos -, pero no puedo ver... sin embargo, debido a la recurrencia es básico el cálculo y el álgebra que una computadora puede fragmento a través de profundidad arbitraria.

Armados con estos ahora podemos notar que podemos definir de la $X = Z + c$, de modo que $X \sim N(c,1)$ y, a continuación, Taylor expandir $L^*$ alrededor del punto c

$E[\ln(\Phi(X))] = E[\ln(\Phi(c)) + L(c) Z + L'(c)\frac{Z^2}{2} + L''(c)\frac{Z^3}{3!}+\cdots]$

Ahora, recuerde que $E[Z^p] = (p-1)!!$ incluso $p$ $0$ lo contrario, por lo que sólo mantener a cada otro término:

$E[\ln(\Phi(X))] = \ln(\Phi(c)) + L'(c)\frac{1}{2} + L'''(c)\frac{3!!}{4!}+ L^{(5)}(c)\frac{5!!}{6!} \cdots$

$E[\ln(\Phi(X))] = \ln(\Phi(c)) + L'(c)\frac{1}{2} + L'''(c)\frac{1}{8}+ L^{(5)}(c)\frac{1}{48} + L^{(7)}(c) \frac{1}{384} + \cdots + L^{(2k-1)}(c) \frac{1}{2^k k!} + \cdots$

(donde usamos ese $(2k-1)!! = \frac{(2k)!}{2^k k!}$ )

Así que todo lo que queda es conectar los derivados sobre el trabajo y el total. Si alguien detecta un patrón, a continuación, esto debería funcionar exactamente.

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Por cierto, si no había preguntado acerca de la $\ln(\Phi(x))$ pero simplemente $\Phi(x)$, entonces tenemos una mucho más simple expresión.

La realización de la expresión anterior pero usando $\Phi$ en lugar de $L^*$ tenemos:

$E[\Phi(X)]=\Phi(c) + \phi(c) \sum_{k=1}^\infty \frac{H_{2k-1}(c)}{2^k k!}$

Donde $H_n$ es el n-ésimo polinomio de Hermite, y hemos utilizado el hecho de que $\frac{d^n \phi(x)}{dx^n}=H_n(x)\phi(x)$

Observe que en el interior de la suma tenemos un polinomio a través de una exponencial, por lo que este va a converger muy bien.

Observe también que desde $H_{2k-1}(0) = 0$ para todos los k, a continuación, en el caso de que $c=0$ este colapses de vuelta a 0,5 como se esperaba.

Answer 2

No,usted tendrá que hacer la integración numérica para cada una de las $c$ del valor.

Deje $\Phi(x)$ ser el Gaussiano CDF función.

Desea evaluar $$ I=\int \Phi'(x-c) \ln \Phi(x) dx $$

Idea 1: esto se parece a una convolución; la transformada de Fourier de $\Phi'$ es bastante fácil, pero que de $\ln \Phi$ no; e incluso si se puede tomar el de transformar el segundo factor, la inversión de la expresión resultante es poco probable que sea factible.

Idea 2: hacerlo por partes, esto funciona a $$ \Phi(x-c) \ln \Phi(x) \vert^{\infty}_{\infty} - \int_{\infty}^{\infty} \frac{ \Phi(x-c)}{\Phi(x)} \Phi'(x) dx $$ el primer término es conveneiently cero, pero la segunda no es la mejor.

Idea 3: ampliar la $\ln \Phi$ plazo. Definir $U=1-\Phi$ por lo que : $$ I=-\int U'(x-c) \ln [ 1-U(x)] dx $$ y, a continuación, expanda el logaritmo como si $U$ eran pequeñas. Usted termina con términos como"$U'(x-c) U^n(x)$, que todavía no son fácilmente integrables debido al giro en el argumento.

En este punto, parece que las simplificaciones a las que surgen en $E[ \ln \Phi(x)]$ no son panorámica, por lo que, de integración numérica es una solución factible.