Para$N\unlhd G$ , $C_G(N)\subset N$ tenemos $G/N$ es abelian

Question

La pregunta es que :

deje $N\unlhd G$ de manera tal que cada subgrupo de $N$ es Normal en $G$$C_G(N)\subset N$.

Demostrar que $G/N$ es abelian.

¿cuál podría ser el posible primer pensamiento (aunque para mí, me tomó algo de tiempo :)) es utilizar ese $C_G(N)$ es Normal subgrupo (Como en general centralizador es un subgrupo). una razón para esto es que el $C_G(N)$ no es Normal en General y $C_G(N)$ no es subconjunto de a $N$ en general.

Como $C_G(N)\subset N$, $G/N\leq G/C_G(N)$

Yo de alguna forma quiere decir que $G/C_G(N)$ es abelian y por que a la conclusión de que $G/N$ es abelian.

Me gustaría que alguien a ver Si mi forma de enfoque es correcto/simple??

Todavía no he probado ese $G/C_G(N)$ es abelian. Yo estaría muy agradecido si alguien puede dar una idea.

Gracias.

Answer 1

Para cualquier $n\in N$, $g\in G$, hay un número entero $k$ s.t. $gng^{-1}=n^k$ (como en el subgrupo generado por a $n$ es normal). Esto implica que a $ghn(gh)^{-1}=hgn(hg)^{-1}$ para todos los $g,h\in G$, $n\in N$, es decir, que $G/$(el núcleo de la conjugación de la acción de $G$$N$) es Abelian. El kernel es $C_G(N)$, es decir, $G/C_G(N)$ es Abelian, y por lo tanto (como se observa), $G/N$ es Abelian..

Answer 2

Edit: por Favor, ignore la siguiente "prueba". Es incorrecto (como se señaló en los comentarios de abajo). Sin embargo, voy a dejar esto aquí, ya que podría haber algunas ideas que vale la pena saber en el futuro.

Para cualquier $x,y \in G$, definir $$ \alpha = xyx^{-1}y^{-1} $$ Queremos mostrar que $\alpha \in N$. Considerar el subgrupo $$ H = \langle \alpha\rangle \cap N < N $$ Por hipótesis, $H\vartriangleleft G$. Por lo tanto para cualquier $z\in N$, $$ z\alpha z^{-1} \H \subconjunto \langle \alpha \rangle $$ Por lo tanto, $\exists k\in \mathbb{N}$ tal que $$ z\alpha z^{-1} = \alpha^k $$ Desde el mapa de $w \mapsto zwz^{-1}$ es un isomorfismo, se deduce que el $o(\alpha^k) = o(\alpha)$ y por lo tanto $$ (k,s(\alpha)) = 1 $$ Por lo tanto, no existe $a,b \in \mathbb{Z}$ tal que $ak + bo(\alpha) = 1$, y así $$ \alpha = (\alpha^k)^a \alpha^{bo(\alpha)} = (\alpha^k)^a = (z\alpha z^{-1})^a \H \subconjunto de N $$ Por lo tanto, $xyx^{-1}y^{-1} \in N$, por lo que $$ xN \cdot yN = yN\cdot xN \text{ en } G/N $$