La forma cerrada para la integral de la $\int_{0}^{\pi} \left[1 - r \cos\left(\phi\right)\right]^{-n} \phi \,{\rm d}\phi$

Question

Hay una forma cerrada para $$I_n =\int_{0}^{\pi} \frac{\phi}{(1 - r \cos\phi)^n} \,{\rm d}\phi $$ for $\a la izquierda\vert\,i\,\right\vert < 1$ real and $n > 0$ entero ? La solución integral que permita dar una solución de forma cerrada para esta integral, que describe la interacción de la energía de vector de resonancia de relajación en astrofísica de la dinámica.

El uso de Mathematica y métodos de análisis que me han obtenido los siguientes resultados para $n=\{1,2,3,4,5,6\}$: $$\tag{1} I_n = -\frac{a_n r}{s^{2n-2}} + \frac{b_n}{s^{2n-1}}\left[\chi_2(q) +\left(-\frac{c_n}{b_n}s + {\rm arctanh}(q) \right){\rm arctanh}(r) \right]$$ donde $s=\sqrt{1-r^2}$, $q=\sqrt{(1-r)/(1+r)}$, $\chi_2(x)$ es el Legendre chi función, $a_n$, $b_n$, y $c_n$ son constantes dadas por \begin{align} a_1 &= 0, \quad b_1 = 4, \qquad c_1 = 0,\\ a_2 &= 0, \quad b_2 = 4, \qquad c_2 = 2,\\ a_3 &= 1, \quad b_3 = 4 + 2r^2, \qquad c_3 = 3,\\ a_4 &= \frac{7}{3}, \quad b_4 = 4 + 6r^2, \qquad c_4= \frac{11}{3} + \frac{4}{3}r^2,\\ a_5 &= \frac{23}{6}+\frac{11}{12}r^2, \quad b_5 = 4 + 12 r^2 + \frac{3}{2}r^4, \qquad c_5=\frac{25}{6} + \frac{55}{12}r^2,\\ a_6 &=\frac{163}{30} + \frac{47}{12}r^2, \quad b_6 = 4 + 20 r^2 + \frac{15}{2}r^4, \qquad c_6=\frac{137}{30} + \frac{607}{60}r^2 + \frac{16}{15}r^4. \end{align} Es la integral de la $I_n$ en la general de la forma cerrada dada por (1) para todos los $n$? Si es así, ¿cuáles son las constantes $a_n$, $b_n$, y $c_n$?

Answer 1

La integral puede ser evaluado por darse cuenta de que es un derivado con respecto a $R=1/r$, es decir, $$I_n =\int_{0}^{\pi} \frac{\phi}{(1 - r \cos\phi)^n} \,{\rm d}\phi = R^n \int_{0}^{\pi} \frac{\phi}{(R - \cos\phi)^n} \,{\rm d}\phi = \frac{(-1)^{n-1} R^n}{(n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dR^{n-1}}\int_{0}^{\pi} \frac{\phi}{R - \cos\phi} \,{\rm d}\phi. $$ Esta integral puede ser evaluado con un de Weierstrass sustitución de $t = \tan (\phi/2)$, $$F(R) = \int_{0}^{\pi} \frac{\phi}{R - \cos\phi} \,{\rm d}\phi = \frac{4r}{1+r}\int_0^{\infty} \frac{\arctan t}{p^2 + t^2} dt = \frac{4}{\sqrt{R^2-1}}\int_0^{\pi/2} \arctan \left(q \bronceado y \right) dy = \frac{4}{\sqrt{R^2-1}}\left[\chi_2(q) - {\rm arctanh}(q) \ln(q) \right] =\frac{4}{\sqrt{R^2-1}}\left[\chi_2(q) +\frac{1}{2} {\rm arccosh}(R) {\rm arctanh}(R) \right],$$ donde $q=\sqrt{(1-r)/(1+r)}$ $\chi_2(x)$ es la de Legendre chi función. Ahora podemos derivar la integral tomando derivados de esta función $$I_n = \frac{(-1)^{n-1} R^n}{(n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dR^{n-1}}F(R).$$ Tenga en cuenta que ${\rm arccosh\,}R=2{\rm arctanh\,}q$, ${\rm arccoth\,}R=\ln q$, y $$\frac{d}{dx}\chi_2(x) = \frac{{\rm arctanh}(x)}{x} \quad{\rm so\quad} \frac{d}{dR}\chi_2(q) = \frac{{\rm arctanh}(q)}{R^2 - 1} = \frac{1}{2}\frac{{\rm arccosh}(R)}{R^2 - 1} $$ $$\frac{d}{dR} {\rm arccosh}(R) = \frac{1}{\sqrt{R^2 - 1}} \quad{\rm y\quad} \frac{d}{dR} {\rm arccoth}(R) = \frac{-1}{R^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R+1} - \frac{1}{R-1}\right).$$ Los derivados de $n\geq 3$ simplificar a $$I_n = \frac{R^n}{S^{2n-2}}\left\{ \frac{4 A_{n-1}}{S}\left[\chi_2(q) - {\rm arctanh(q)\ln q}\right]\right. \\ \a la izquierda.+2\sum_{k=0}^{n-2} \frac{A_k A_{n-k-2}}{k+1} \ln p + \sum_{j=0}^{n-3}\sum_{k=0}^{n-3-j}\frac{A_k A_{n-3-j-k}}{n-1-k} \frac{(R-1)^{1+j}-(R+1)^{1+j}}{1+j} \right\} $$ donde $S=\sqrt{R^2-1}$ $A_n$ es un polinomio de $R$ se define como $$A_n = \frac{(-1)^n}{n!}\a la izquierda(R^2-1\right)^{n+(1/2)}\frac{d^{n}}{dR^{n}} \left(R^2-1\right)^{-1/2}\\ =\left(\frac{I+1}{4}\right)^n\sum_{s=0}^{n}\frac{(2s)!}{(s!)^2}\frac{[2(n-s)]!}{[(n-s)!]^2}p^{2}.$$ Los coeficientes están relacionados con polinomios de Legendre$P_{2n}(0)=(-1)^n(2n)!/[4^n (n!)^2]$. El resultado se simplifica a $$ I_n=\left(\frac{R}{R-1}\right)^n \frac{p^2}{4^{n-2}}\left\{ a(q) [\chi_2(q) - {\rm arctanh(q)}\ln p] +b(q)\ln q + c(q)\right\}$$ donde $$ a(q)=\sum_{K=0}^{n-1}p^{2K-1} \frac{(2K)!}{(K!)^2} \frac{[2(n-1-K)]!}{[(n-1-K)!]^2}\,, $$ $$ b(q)=\sum_{K=0}^{n-2}p^{2K} \sum_{s=0}^{K}\frac{(2s)!}{(s!)^2}\frac{[2-(K-s)]!}{[(K-s)!]^2} \sum_{j=K}^{n-2}\frac{[2(j-K)]!}{[(j-K)!])^2}\frac{[2(n-2-j)]!}{[(n-2-j)!]^2}\frac{2}{j-s+1}\,, $$ $$ c(q)=\sum_{K=0}^{n-3}p^{2K+2} \sum_{J=0}^{K} \frac{4^{K-J+1}}{1+K-J} \sum_{s=0}^{J}\frac{(2s)!}{(s!)^2}\frac{[2(J-s)]!}{[(J-s)!]^2}\\ \quad\times \sum_{j=K}^{n-3}\frac{[2(j-K)]!}{[(j-K)!])^2}\frac{[2(n-3-j)]!}{[(n-3-j)!]^2}\frac{1}{n-1-j+s+K-J}\\ \quad+\sum_{K=0}^{n-3}p^{2K} \sum_{J=K}^{L-3} \frac{-4^{J-K+1}}{1+J-K}\sum_{s=0}^{K}\frac{(2s)!}{(s!)^2}\frac{[2-(K-s)]!}{[(K-s)!]^2}\\ \quad\times \sum_{j=J}^{n-3}\frac{[2(j-J)]!}{[(j-J)!])^2}\frac{[2(n-3-j)]!}{[(n-3-j)!]^2}\frac{1}{n-1-j+s+J-K}\,.$$

Answer 2

No es una respuesta completa, pero tal vez muy interesante:

$I_{n}(r)$ obedece a una relación de recursividad: $$ I_{n+1}(r)=I_{n}(r)+\frac{r}{n} \frac{\partial}{\partial r}I_{n}(r) $$

Un gran $n$ aproximación es: $$ I_{n}(r)\stackrel{n \rightarrow \infty}{\sim} \int_{0}^{\pi}\phi \exp(n\ r \cos \phi)\mathrm{d}\phi, $$ lo que muestra que un gran $n$ la integral depende sólo del producto $n\,r$. Curiosamente, también la aproximación no parece ser resueltos en forma cerrada.

Para la aproximación que he usado: $$ \left(1 - \frac{z}{n}\right)^{n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\sim} e^{- z} $$