límite de una secuencia $\ln n\cdot(\sin n)^2$

Question

Es fácil ver que $\lim\limits_{x\to \infty}\ln x\cdot(\sin x)^2$ no existe (el pecado puede tomar 0 y 1 como valores, por lo que liminf es $0$, limsup es $\infty$).

cómo sobre el límite de una secuencia:

$\lim\limits_{n\to \infty}\ln n\cdot(\sin n)^2$ ?

Answer 1

Si $\frac mn$ es una buena aproximación para $\frac1\pi$ $$\left|\frac mn-\frac1\pi\right|<\frac 1{n^2}$$ (e infinitamente muchas de estas aproximaciones no existen!), a continuación, $n$ difiere de $m\pi$ por menos de $\frac \pi n$, lo que hace que $\sin^2n<\frac{\pi^2}{n^2}$. Luego de una secuencia de tales $n$, $\ln n\sin^2n\to 0$. Por otro lado, $|\sin(n+1)|\approx \sin 1$ tales $n$, por lo que el $\ln n\sin^2n$ no está delimitado desde arriba. De ahí de nuevo $\liminf = 0$, $\limsup=\infty$.