Dado un $3\times3$ de la matriz hay un criterio capaz de decir si la matriz tiene un autovalor positivo?
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Matthew Scouten
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Deje $M$ ser la matriz (que supongo ha reales de las entradas), y $p(x) = x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ su polinomio característico $\det(xI - M)$. Si $a_0 < 0$, es decir,$\det(M) > 0$, siempre hay un autovalor positivo.
Ahora supongamos $a_0 \ge 0$. Si $a_2^2 < 3 a_1$, las raíces de $p'$ son complejos, por lo $p(x)$ está aumentando y no hay autovalores positivos. Si $a_2^2 \ge 3 a_1$, vamos a $r = (\sqrt{a_2^2-3a_1}-a_2)/3$ que es la mayor raíz de $p'(x)$. En fin, para que haya un autovalor positivo, necesitamos $r > 0$$p(r) \le 0$.
Michael Hardy
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El polinomio característico de la matriz $M$ es la siguiente función de $\lambda$: $$ \det(\lambda I - M) $$ donde $I$ es la matriz identidad del mismo tamaño. Los valores de $\lambda$ para que el polinomio característico se $0$ son los autovalores. Para un $3\times3$ matriz, se obtiene un tercer grado del polinomio. Así que la pregunta es si un determinado tercer grado de la ecuación tiene un resultado positivo de la raíz. Ahora intente buscar en Descartes' regla de los signos. Ciertamente, no hay ninguna positivo de la raíz si todos los coeficientes del polinomio son positivos.
David
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Si el determinante es positivo, no es (al menos) uno (o tres) autovalores positivos.
Si no, el polinomio característico es $$P(x)=d-c.x+b.x^2-x^3$$
con $d$ como el factor determinante, $b$ la traza, y $c$ de la suma de principal de los menores de edad.
Si hay un resultado positivo de la raíz, el máximo de este polinomio en $\mathbb R^+$ es positivo. Así que busque en la derivada polinomio $$P'(x)=-c+2bx-3x^2$$ If this polynomial has his largest root $r>0$ , just compute $P(r)$. If $P(r)>0$, then $P$ tiene un resultado positivo de la raíz.
Así, en el peor de los casos, usted necesita para calcular el polinomio característico, derivado de ella, y encontrar las raíces de un polinomio de grado 2.
