Rango de $(G/H)/(G/H)_t$ donde $G$ es finitamente había generado abelian y $H$ es un subgrupo.

Question

Que $G$ ser un Grupo abeliano finitamente generado y $H$ ser un subgrupo. Deje que subíndice $t$ indican el subgrupo de torsión. Si es libre de rango $G/G_t$ $n$ y es libre de rango $H/H_t$ $m$, es fácil de incrustar $H/H_t\hookrightarrow G/G_t$ y deducir que $m\le n$. Ahora la pregunta es que quiero mostrar que no que $(G/H)/(G/H)_t$ % fila $n-m$.

Esto es más difícil de lo que parece y no he logrado encontrar una prueba después de muchas horas.

[EDITAR] Estoy buscando una prueba de teoría de grupos.

Answer 1

El rango de $G/G_t$ es la dimensión de la $G\otimes\mathbb{Q}$ como un espacio del vector.

De la secuencia exacta $0\to H\to G\to G/H\to 0$, obtendrá la secuencia exacta $$ 0\to H\otimes\mathbb {Q} \to G\otimes\mathbb {Q} \to (G/H) \otimes\mathbb {Q} \to 0 $$

Answer 2

El rango es la dimensión de la G⊗Q porque es isomorfo a (G/Gt) ⊗Q como G/Gt = Z ^ n, n es el rango