He encontrado algo de información sobre este problema. Esta pregunta es acerca de la prueba de un teorema debido a Feller, que se encuentran en el volumen 2 de su "Introducción a la Teoría de la Probabilidad y sus Aplicaciones" (pág. 278-279). Aquí es una reafirmación.
$\mathbf{Theorem.}$ Deje $X_1,\dots,X_n$ ser independiente de las variables aleatorias con funciones de distribución de la satisfacción de $1-F_i(x)\sim x^{-\alpha}L_i(x)$ donde $L_i$ es lentamente variar al infinito. Entonces, la convolución $G_n:=F_1\star\dots\star F_n$ ha regularmente en diferentes cola tal que $$1-G_n(x)\sim x^{-\alpha}(L_1(x)+\dots+L_n(x)) \, .$$
Feller demuestra el caso de dos variables aleatorias y sólo los estados que el resultado general de la siguiente manera por inducción. Por cierto, su prueba de la $n=2$ de los casos es una joya.
Así que ya sabemos de Talador de que el teorema es válido para dos variables aleatorias. Para demostrar la inducción de paso, supongamos que el teorema vale para $n-1$ variables aleatorias, lo que significa que $$1-G_{n-1}(x)\sim x^{-\alpha}(L_1(x)+\dots+L_{n-1}(x)) \, .$$ Since the sum of slowly varying functions is a slowly varying function itself, we have that $X_1+\dots+X_{n-1}$ is a random variable, independent of $X_n$, whose distribution function $G_{n-1}$ satisfies the tail hypothesis of the theorem, that is, $1-G_{n-1}(x)\sim x^{-\alpha}M(x)$, where the slowly varying $M=L_1+\dots+L_{n-1}$. Por la asociatividad de la convolución, sabemos que
$$
G_n = F_1\estrellas\dots\estrella F_{n-1}\estrella F_n = (F_1\estrellas\dots\estrella F_{n-1})\estrella F_n = G_{n-1}\estrella F_n\, ,
$$
y estamos de vuelta a la (ya demostrado por Feller) en el caso de dos variables aleatorias que satisface la hipótesis del teorema. Por lo tanto,
$$
1 - G_n(x) \sim x^{-\alpha}(M(x)+L_n(x)) = x^{-\alpha}(L_1(x)+\dots+L_{n-1}(x)+L_n(x)) \, .
$$
Por lo tanto, la cola de $G_n$ satisface la propiedad necesaria, el teorema se cumple para $n$ variables aleatorias, y hemos terminado con el paso de inducción.
