¿Cómo puedo resolver esta paradoja de conteo de segmentos de línea?

Question

Si tengo algo de innumerables subconjunto $T$ trascendental de números en la recta real, por definición, no puedo contar con ellos. Ahora, supongamos que yo tome el complemento de este conjunto. Ahora tengo un conjunto de segmentos de línea definido entre cada par de puntos, uno menos de los segmentos de los que había trascendental números de la serie original. Pero cada segmento de línea contiene un número racional y por lo tanto el número de segmentos es contable.

Esto parece contradecir la independencia de la hipótesis continua de algunos razonable de matemáticas de la teoría en la que la descripción anterior se expresa.

A donde voy mal?

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Actualización: el problema Es que yo soy la definición de segmentos de línea entre los distintos números racionales con potencialmente sin límite menor longitud?

Answer 1

Su argumento no demostrar algo. Es decir, resulta:

No hay innumerable conjunto de reales que se haga discretas - cada elemento del conjunto tiene un siguiente elemento en el conjunto.

(Tenga en cuenta que usted habla trascendentales en concreto, pero no hay nada especial acerca de ellos - sólo podemos hablar de reales. Y la misma afirmación es verdadera izquierda conjuntos discretos, por supuesto).

La prueba es exactamente el argumento que dan. Supongamos $X$ fueron discretos en la multitud innumerable de reales. A continuación, para cada una de las $x\in X$ se puede asignar un intervalo de $I_x$$x$: vamos a $I_x=(x, y)$ donde $y$ es el siguiente elemento de $X$.

Ahora esta construcción se plantea la pregunta: $$\mbox{How do we know there is such a $y$ in the first place?}$$ Well, we know that because $X$ is discrete (by assumption). So we're good to go. But note that this step is not true for general $X$.

OK, ahora vamos a argumentar de la siguiente manera. Deje $q_x$ ser algunos racional en $I_x$; hay un montón de racionales en $I_x$ desde $x<y$, por lo que esto es posible (y los racionales son bien disponible (no bien-ordenó - ¡cuidado!), así que siempre puede "recoger " uno" incluso sin el axioma de elección). Pero es fácil demostrar que los $I_u\cap I_v=\emptyset$ si $u, v$ son elementos distintos de a $X$, por lo que el mapa de $x\mapsto q_x$ es una inyección de $X$ a $\mathbb{Q}$; y esto contradice la suposición de que $X$ fue incontable. $\quad \Box$

(Aw diablos, he cometido el "lgica del pecado" - escribí una prueba por contradicción donde no es necesario! Podemos discutir directamente que si $X$ es de derecha discretos, a continuación, $X$ es contable, por la construcción de la inyección en $\mathbb{Q}$. Escribí esto como una prueba por contradicción en su lugar, mejor paralelo a la OP del argumento.)

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Pero esto no es lo que reivindica! El resultado que usted desea es (de alguna manera) que no es la multitud innumerable de los trascendentales; y ni el ni ninguno relacionados con la declaración es verdadera. La única manera de que su argumento funciona en todos es que si el conjunto en cuestión se supone que para ser discretos, o "muy discreta" de todos modos.

Answer 2

Supongamos por un momento que sabemos que entre cualquier dos trascendentales hay otro trascendental. La deje que su conjunto $S$ contienen todos los trascendentales, y vamos a seguir su argumento.

Ahora, supongamos que yo tome el complemento de este conjunto. Ahora tengo un conjunto de los segmentos de línea definido entre cada par de puntos, uno menos los segmentos de los que había trascendental números de la serie original

Así que tomamos todos los no-trascendental de los números, y usted dice que esta consiste en un conjunto de segmentos de línea, uno entre cada par de puntos. (Supongo que te refieres aquí "entre cada par adyacente de puntos", es decir, que los segmentos no se superponen). Supongamos $(p, q)$ es un segmento, es decir, que $p$ $q$ son adyacentes trascendentales. Luego hay un trascendental entre el$p$$q$, por nuestra suposición en la parte superior de esta respuesta. Así que realmente no están "adyacentes". En definitiva, con la asunción en la parte superior (y en el supuesto de que no se solapan intervalos), su construcción se produce un error.

Por otro lado, si los intervalos se pueden solapar, a continuación, para cada trascendental $p$, sólo se toma el intervalo de $(p, p+1)$. Hay, sin duda, uno racional en este intervalo, y, de hecho, infinitamente muchos. Y todos los racionales obtener contado infinidad de veces, por lo que no se puede decir que el número de intervalos es contable.

Answer 3

Una vez más, vamos a seguir su construcción. Se supone que funcione para cualquier conjunto de una cantidad no numerable de trascendental números, así que me voy a tomar mi set $S$ el conjunto de todos los trascendentales.

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Útil lema: porque $\pi$ es trascendental, $q_n = (1 + \frac{1}{n})\pi$ es también trascendental.

Prueba: supongamos que para algún polinomio $p$, $p(q_n) = 0$. Vamos $$ s(x) = p(\left(\frac{n}{n+1}\right) x). $$ A continuación,$s(\pi) = 0$, y eso es una contradicción. QED.

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(1) me tome el complemento de este conjunto, y usted dice que tengo el conjunto de (abierto) de los segmentos de línea definida entre los puntos.

(2) por $\pi \in S$, afirman que debe ser un segmento de la línea de partida en $\pi$ e ir a la siguiente trascendental, que voy a llamar a $t$.

(3) Debido a que $t$ es el siguiente trascendental, no hay trascendentales entre el$\pi$$t$. [Me pare cuando me dicen algo que no es lo que pretende!]

(4) veamos el número de $t - \pi$.

(5) Debido a que $q_1 = 2\pi$ es trascendental, por el lema, debemos tener $t < q_1$, lo $t - \pi < \pi$.

(6) Debido a que $q_2 = \frac{3}{2} \pi$ es trascendental, por el lema, debemos tener $t < q_2$, lo $t - \pi < \frac{\pi}{2}$.

(7) Por el mismo argumento, para cualquier entero$n$,$t - \pi < \frac{\pi}{n}$.

(8) por lo tanto $t \le \pi$. Pero desde $t$ es la "próxima" trascendental, sabemos que $t > \pi$.

Que es una contradicción.

Su suposición de que hay un "siguiente" irracional, realizada en el paso 2, debe ser falsa.

Answer 4

Mientras que casi todas las ideas necesarias para entender esta "paradoja" es una respuesta o un comentario en algún lugar, todavía no he visto a nadie de la manera más concisa señalar el error real en el OP. Así que aquí va:

"Ahora, supongamos que yo tome el complemento de este conjunto. Ahora tengo un conjunto de segmentos de línea definido entre cada par de puntos, uno menos de los segmentos de los que había trascendental números de la serie original."

Esta afirmación es falsa.

La intuición es de suponer que si tenemos un conjunto de $100$ números reales, y tomar el complemento del conjunto de los números reales, entonces el resultado es, de hecho, $99$ abierto segmentos de línea (junto con dos infinitos rayos que son irrelevantes).

Pero para conjuntos infinitos, es muy poco probable que el complemento del conjunto de los números reales consiste en abrir los segmentos de línea. Simplemente no hay razón por la que debería, a pesar de nuestra intuición acerca de los conjuntos finitos. (Y, de hecho, si examinamos la prueba para que complementa finito de conjuntos, vemos que depende de que cada uno de los elementos de nuestro conjunto de tener un "elemento siguiente de su derecho", y ahora hemos fusionado en otras respuestas.)

Answer 5

Estoy teniendo mucho tiempo entender cómo los segmentos se generarían, después de retirar un número trascendente no es solo trascendente "next" para conectar: entre dos, siempre habrá uno (infinito) otros. Yo estoy suponiendo que no "segmento" puede existir entre el par de números trascendente.