Para $G$ grupo y $H$ subgrupo de índice finito, demostrar que $N \subset H$ subgrupo normal de $G$ de índice finito existe

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $H$ sea un subgrupo de $G$ con índice finito. Quiero demostrar que existe un subgrupo normal $N$ de $G$ con índice finito y $N \subset H$ . La pista para este ejercicio es encontrar un homomorfismo $G \to S_n$ para $n := [G:H]$ con el núcleo contenido en $H$ .

La solución estándar sugiere elegir $\varphi$ como el homomorfismo inducido por la multiplicación por la izquierda $\varphi: G \to S(G/H) \cong S_n$ . No estoy 100% seguro de haber entendido esto correctamente. ¿Qué hace exactamente $\varphi$ ¿hacer? Tomamos $g \in G$ y enviarlo a una biyección $\varphi_g: G/H \to G/H, xH \mapsto gxH$ ? Si es así, ¿cómo puedo ver que su núcleo está contenido en $H$ ? Además, la solución estándar afirma que su imagen es isomorfa a $G/N$ y por lo tanto $N$ tiene un índice finito en $G$ ¿Cómo puedo ver que la imagen es isomorfa a $G/N$ ?

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Su definición de $\varphi$ se ve bien. Cualquier cosa en el kernel debe en particular arreglar $H$ y $gH = H$ equivale a $g \in H$ . Por otro lado creo que $N = \ker \varphi$ puede ser un subgrupo propio de $H$ . Como ejemplo, que es una tontería porque el grupo es finito, si se toma $G = S_3$ y $H = \{1, (12)\}$ entonces este proceso produce $N = \{1\}$ .

Para la segunda pregunta, esto es sólo el "primer" teorema de isomorfismo .

Answer 2

No sé si es verdad o mentira pero lo intento como esto

$H$ es un subgrupo de $G$ . $(G:H)=n$ podemos obtener al menos un subgrupo normal $N⊆H$ .

Dejemos que $［G:H］=\{g_1,g_2,...,g_n\}$

Ahora definimos un mapeo $f:G \to S_n$ tal que $f(a)=g_i$ donde $a∈g_i, N⊆g_iH$ Está claro que la cartografía está bien definida.

Dejemos que $f(b)=g_j$ donde $g_j∈g_j, N ⊆g_jH$ .

Ahora $a∈g_i N$ y $b ∈g_j N$ por lo tanto $ab∈g_i.g_jN⊆g_ig_jH$ Por lo tanto, $f(ab)=gi.gj=f(a)f(b)$ , $f$ es un homomorfismo.

Dejemos que $x∈\operatorname{ker}f$ .entonces $x∈N⊆H$ es decir $\operatorname{ker} f=N⊆H$