Estoy lidiando con las acciones del círculo sobre variedades diferenciables. En el libro que estoy leyendo, que utilizan el hecho de que una acción de $S^1$ sobre un disco tiene que ser equivalente (tiene que existir un diffeomorphism equivariante) a una rotación. ¿Alguien me puede dar una pista para comprobarlo? ¿O tal vez una referencia donde puedo consultar este resultado? Parece ser un "hecho conocido" pero no he podido encontrar un lugar donde la prueban.
Respuesta
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Tu pregunta es un poco imprecisa, pero me quedo con la afirmación de que una acción suave de $S^1$$D^n$, es decir, un suave homomorphism $S^1 \to Diff(D^n)$ es conjugado a través de un diffeomorphism de $D^n$ a un homomorphism $S^1 \to SO_n$.
En primer lugar, el generador de la moción es un campo de vectores en $D^n$ que es tangente a $\partial D^n = S^{n-1}$. Desde su tangente en el límite, puede perturbar el vector de campo cerca de la frontera a ser hacia el exterior, señalando. De poincaré-Hopf entra y le dice a usted este vector campo tiene un cero en el interior, de manera que su vector original de campo tiene un cero en el interior.
Así, en la órbita de la descomposición de $D^n$ tiene un no-vacío de punto fijo establecido. Así que todo lo que tenemos que hacer es mostrar el punto fijo definido es isotópico a un subespacio lineal -- una vez que usted sabe que el disco de $D^n$ es sólo un $S^1$-equivariant tubular barrio de punto fijo definido, y, entonces, se caracteriza por su comportamiento cerca del punto fijo, que es lineal.
Hmm, esta parte parece no ser cierto. Al parecer, hay acciones de los círculos en los discos, precisamente, con dos puntos fijos en el interior. Ref yo no tengo acceso a el papel de la casa así que no he mirado de otra cosa que de la primera página, pero esto parece ser un no-lineal. Tal vez, en la referencia que usted se refiere son de contenido con un local de resultado, en lugar de un resultado global? Es posible que desee comprobar cuidadosamente la redacción. Localmente es cierto el argumento anterior.
