Pregunta sobre "hasta isotopy" fijarle dos espacios

Question

Vamos $M$, $N$, $A$, $B$ ser espacios topológicos (o colector) tal que $A$ $B$ son subespacios en $M$, $N$ respectivamente.

Deje $f: A \to B$ $g:A \to B$ ser homeomorphism y asumir que $f$ $g$ son isotópica. Damos espacios a $M$ $N$ través $f$$g$, y obtener un $M\cup_fN$$M\cup_gN$.

Quiero demostrar (o refutar) que $M\cup_fN$ $M\cup_gN$ son homeomórficos.

Primero de todo, estoy confundido por la difinition de isotopía. Mi entendimiento es que homeomorphisms $f: A \to B$ $g:A \to B$ son isotópicas si hay un mapa de $H: A\times [0,1] \to B$ tal que $H(x, t)$ es un homeomorphism para cada una de las $t\in [0,1]$$H(x, 0)=f(x)$$H(x,1)=g(x)$. Es esta definición correcta en este contexto?

Sugerencias para la definición de isotpy y la construcción de un homeomorphism entre el $M\cup_fN$ $M\cup_gN$ son apreciados.

Answer 1

En el diferencial de contexto (es decir, todos los espacios son suaves colectores), si $f,g\colon A\rightarrow N$ son lisas, de mapas, de un ambiente isotopía entre el $f$ $g$ es un (suave) isotopía $F\colon N\times R\rightarrow N$ tal que $F(p,0) = p$$p\in N$$F(f,1)= g$. Si $f$ $g$ son del ambiente isotópico, a continuación, $M\cup_f N$ $M\cup_g N$ son diffeomorphic.

Es un teorema de Thom, Cerf y el Palais de que si $A$ es compacto y $N$ es cerrado, luego de dos incrustaciones son isotópicas si y sólo si son del ambiente isotópica (ver Teorema 5.2 en el capítulo II en Kosinski Diferencial de colectores).

EDIT: con Respecto a la versión topológica de este teorema: Supongamos $A = S^1$$M = S^3$, e $f,g$ son triviales nudo y el nudo de trébol. A continuación, $f$ $g$ son topológicamente isotópica, pero sus complementos no son homeomórficos, por lo que este topológica de la isotopía no se extiende a un ambiente isotopía (En http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Isotopy_(in_topology) no es una cuenta de topológica de la isotopía, con condiciones para un topológica de la isotopía de extensión del teorema de ser cierto y referencias)