¿Cuántos traduce distinto de un conjunto (no admisible) $\mathcal{H}$ puede estar compuesto enteramente de números primos?

Question

En un post reciente, Terence Tao habla sobre el primer tuplas de conjeturas, y en particular, él se pregunta: "Supongamos que uno se da un ${k_0}$-tupla ${{\mathcal H} = (h_1,\ldots,h_{k_0})}$ ${k_0}$ distintos enteros para algunos ${k_0 \geq 1}$, dispuestas en orden creciente. Cuando es posible encontrar una infinidad traduce ${n + {\mathcal H} =(n+h_1,\ldots,n+h_{k_0})}$ ${{\mathcal H}}$ que consiste enteramente de los números primos?" Para este estudio, el concepto de un admisibles conjunto es introducido: $k_0$- tupla ${\mathcal H}$ es admisible "si evita al menos un residuo de la clase ${\hbox{ mod } p}$ para cada uno de los prime ${p}$."

Se señaló que, dado que para no admisible conjuntos de ${\mathcal H}$ existe un primer $p$ tal que ${\mathcal H}$ cumple con todos los residuos de la clase $\hbox{ mod } p$, entonces cada uno de traducir de ${\mathcal H}$ debe contener un múltiplo de $p$, y tan sólo puede haber un número finito de traduce de ${\mathcal H}$ totalmente compuestas de números primos: en particular, cada uno de traducir consta de sólo números primos debe contener $p$ sí.

Esto parece increíblemente restrictiva. Dado un no admisible $k_0$-tupla ${\mathcal H}$, cuántos se traduce hay que consta sólo de números primos, y qué dependen $k_0$? Puede incluso ser más de 1?

Como un ejemplo, el de no admisibles $3$-tupla $(0,2,4)$ tiene un único traducir consta de los números primos -- $(3,5,7)$ -- ya que cada tercer número impar mayor que 3 es divisible por 3, y por lo tanto no es primo. Hay un montón de primer trillizos, es decir, $3$- tuplas de la forma $(p, p+2, p+6)$ o $(p,p+4,p+6)$, pero tanto $(0,2,6)$ $(0,4,6)$ son admisibles -- y de manera similar para el primer cuatrillizos, quintillizos, y sextuplets.

Estoy pensando en escribir algo de código de Mathematica para ir prime-buceo, pero quería ver si hay algo de teoría simple aquí primero que ahorraría tiempo.

Edit: La página de la wiki en el primer k-tuplas dice que "Algunos inadmisible k-tuplas tienen más de un todo-prime solution" y le da el más pequeño ejemplo, pero no explica cómo llegó a tal o explican de la teoría detrás de esto, que solo da estimaciones sobre la cantidad que hay. Por supuesto, esto sólo hace que la curiosidad aún peor.

Answer 1

Parece muy probable que la respuesta es "arbitrariamente a muchos", al menos si se nos permite hacer a $k_0$ arbitrariamente grande.

Yo estaba pensando en esta pregunta a mí el otro día, y me topé con exactamente la misma tupla se mencionó en la Wikipedia. Mi razonamiento fue el siguiente. Revisión de un primer $p$ de manera tal que todos los residuos de la clase modulo $p$ está representado en nuestro (hipotético) de tupla $\mathcal H$. A continuación, cada una de traducir de $\mathcal H$ que consta de los números primos debe incluir $p$ sí. Supongamos que (por ejemplo) $(p, p + h_1, \dots, p + h_{k_0})$ $(p - h_1, p, p - h_1 + h_2, \dots, p - h_1 + h_{k_0})$ consisten enteramente de los números primos. A continuación, $p$ se encuentra en el centro de tres término de una progresión aritmética de números primos con diferencia común $h_1$. Una vez que hemos encontrado un prime (decir $p = 5$,$h_1 = 2$), sólo tenemos que encontrar los números primos $p + h_2, \dots, p + h_{k_0}$, cubriendo todos los residuos restantes clases modulo $p$, de tal manera que cada una de las $p + h_i - h_1$ es primo. Al menos en el caso concreto, esto es fácil de hacer: $(3, 5, 11, 17, 29)$ $(5, 7, 13, 19, 31)$ consisten enteramente de los números primos.

La discusión anterior se generaliza bastante fácil darle más de dos traduce. Lo primero que se intenta es encontrar la $p$ tirado en el medio de una de cinco término de una progresión aritmética (yo elegí 17, usando el AP 5, 11, 17, 23, 29), y encontrar tres períodos de la AP con la misma diferencia común que abarque todos los residuos restantes clases modulo $p$. Un ejemplo es \begin{align} \mathcal H = (0, 2, 6, 12, 26, 42, 56, 91, 96, 146, 222, 252, 582, 642, 1086, 1176, 2702), \end{align} de las cuales tres se traduce consta de los números primos: \begin{align} & (5, 7, 11, 17, 31, 47, 61, 97, 101, 151, 227, 257, 587, 647, 1091, 1181, 2707), \\ & (11, 13, 17, 23, 37, 53, 67, 103, 107, 157, 233, 263, 593, 653, 1097, 1187, 2713), \\ & (17, 19, 23, 29, 43, 59, 73, 109, 113, 163, 239, 269, 599, 659, 1103, 1193, 2719). \end{align}

Más generalmente, si usted desea $n$ primer traduce, usted podría comenzar con un $(2n-1)$-plazo de AP de los números primos (que existe por parte de Green-Tao), vamos a $p$ $n$th de ellos, y tratar de llenar los residuos restantes clases modulo $p$ con los números primos en $n$-plazo de APs, como en el anterior. No sé el estado actual de la investigación lo suficientemente bien como para decir con certeza si estos $n$-plazo de APs con lo prescrito diferencia común y de residuos de clases modulo $p$ será necesariamente existe, pero parece probable que ellos.

Como un aparte, no es necesario comenzar con un largo tiempo de progresión aritmética. Por ejemplo, si $n = 4$, usted podría comenzar con una de dos dimensiones de la AP de números primos tales como \begin{matrix} 5 & 17 & 29 \\ 47 & 59 & 71 \\ 89 & 101 & 113, \end{de la matriz} tome $p = 59$, y la construcción de los cuatro que se traduce, de manera que cada uno contiene una de las cuatro 2x2 esquinas de la rejilla de arriba.

Answer 2

Un evidente límite superior es $k_0$ sí mismo. Hay algunos % prime $p$tal que $\mathcal{H}$ contiene todos lo residuos clases mod los $p$ (ya que es inadmisible la tupla) y $p\in n+\mathcal{H}.$

Otro límite superior es $\pi(p)$ ya que el primero no puede aparecer en después de $k$ otros a menos que existan $k$ otros antes de él. Por supuesto esto no es fuerte: es necesario no sólo $k$ primos antes de la $p$, pero para ellos debe ser arreglado en el mismo patrón.