¿Enseñanza de permutaciones, cómo?

Question

Me hice esta pregunta a mi sobrina mientras que la enseñanza de sus permutaciones:

Cuatro bolas de diferentes colores, y cuatro marcadores de posición para poner las bolas, ¿en cuántas maneras puedes arreglar estos cuatro bolas en el cuatro lugar en los titulares?

Ella revertido con $(4!)^2$, mientras que yo estaba esperando escuchar $4!$. Su razonamiento fue así:

Puedo seleccionar la primera de cualquiera de las cuatro bolas en cuatro maneras. Habiendo recogido una, pongo esto en cualquiera de los cuatro marcadores de posición en cuatro maneras. Ahora, seleccione la segunda bola desde los tres restantes en 3 formas. Me puede colocar en cualquiera de los tres restantes lugar de los titulares de 3 maneras.

... y así sucesivamente para producir $4^2 * 3^2 * 2^2 * 1^2$

¿Cómo explicar que sólo $4!$ arreglos son posibles y esto es así independientemente de que el orden que recoge las bolas?

Answer 1

Señalar que, con este razonamiento, hay $4$ formas de organizar dos objetos en orden.

Como para explicar, que el planteamiento de esta manera. En lugar de tener los titulares de la especificada para las bolas (la principal fuente de confusión, aquí) sólo pensar en ello como el dibujo bolas al azar de un sombrero, dicen. En cuántos pedidos de las bolas que se puede extraer, suponiendo que uno es atraído a la vez? Alternativamente, si desea mantener el enfoque anterior, señalar que en virtud de su método, de hecho, hay que $4!$ formas (cronológico de las órdenes de colocación) para obtener cualquier físico disposición de las bolas! Por lo tanto, para enumerar el distinguibles disposiciones físicas de las bolas, nos encontramos con $$\frac{(4!)^2}{4!}=4!,$$ como se desee.

Answer 2

Demostrar de forma inductiva. Evidentemente, es sólo una posible puesta en orden de objetos, $A$;$1$. Agregar un segundo; se puede ir antes de ($BA$) o detrás ($AB$), duplicando el número de posibilidades a $2\cdot1$. Agregar una tercera: se puede ir en cualquiera de los tres ranuras, triplicando el número de posibilidades: $3\cdot2\cdot1$. En esta etapa, es una buena idea todavía para ilustrar todo:

$$\begin{array}{c} &&&\square&B&\square&A&\square\\ &&&\color{blue}{C}&&\color{red}{C}&&\color{green}{C}\\ &&\swarrow&&&\downarrow&&&\searrow\\ \color{blue}{C}&\color{blue}{B}&\color{blue}{A}&&\color{red}{B}&\color{red}{C}&\color{red}{A}&&\color{green}{B}&\color{green}{A}&\color{green}{C}\\ \hline \\ &&&\square&A&\square&B&\square\\ &&&\color{blue}{C}&&\color{red}{C}&&\color{green}{C}\\ &&\swarrow&&&\downarrow&&&\searrow\\ \color{blue}{C}&\color{blue}{A}&\color{blue}{B}&&\color{red}{A}&\color{red}{C}&\color{red}{B}&&\color{green}{A}&\color{green}{B}&\color{green}{C} \end{array}$$

A continuación, cada una de las $3\cdot2\cdot1$ cadenas de $3$ objetos ha $4$ ranuras para insertar una nueva, para un total de $4\cdot3\cdot2\cdot1$ cadenas, y así sucesivamente:

$$\square\quad X\quad\square\quad Y\quad\square\quad Z\quad\square$$