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Encuentre el determinante de$A + I$

Dado una matriz de valor real$A$ tal que$A$ satisface$AA^T = I$ y$\det(A)<0$, calcula$\det(A + I)$

Mi inicio: Dado que$A$ satisface$AA^T = I$,$A$ es una matriz unitaria. El determinante de una matriz unitaria con entradas reales es$+1$ o$-1$. Como sabemos que$\det(A)<0$, se sigue que$\det(A)=-1$.

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user30382 Puntos 48

Debido a que el determinante es multiplicativo y$AA^T=I$, tenemos$$\det(A+I)=\det(A+AA^T)=\det(A(I+A^T))=\det(A)\det(I+A^T).$ $ Por supuesto$I+A^T=A^T+I$, y$(A^T+I)^T=(A^T)^T+I^T=A+I$. Se sigue que$$\det(A)\det(I+A^T)=\det(A)\det(A^T+I)=\det(A)\det(A+I),$ $ donde usamos ese$\det(M)=\det(M^T)$ para cualquier matriz$M$. Las igualdades anteriores muestran que$$\det(A+I)=\det(A)\det(A+I).$ $ Pero ya has notado que$\det(A)=-1$, entonces debemos tener$\det(A+I)=0$.

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NessunDorma Puntos 203

Tenemos:

$ \ Det (A I) = \ det [A (I A ^ T)] = \ det (A) \ det (I A ^ T) = - \ det (I A ^ T). $$

Ahora como$\det(M)=\det(M^T)$ para cualquier matriz M, tenemos:

$$ \ det (A I) = - \ det (I A ^ T) = - \ det (I A), $$

Por lo tanto $\det(A+I)=0$.

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Pete Puntos 6387

Hay otra prueba interesante:

El producto de los autovalores de$A$ es el$\det(A)$. Dado que$A$ es ortogonal, todos los valores propios se encuentran en el círculo unitario. Cada valor propio no real viene con su conjugado complejo por lo que su producto es$1$. Así que$\det(A)=-1$ implica que el autovalor$-1$ tiene una multiplicidad impar, por lo que el eigenspace correspondiente tiene una dimensión al menos$1$. Por lo tanto, hay un vector$v\ne 0$ con$Av=-v$. Concluimos$(A+I)v=0$, y finalmente$\det(A+I)=0$.

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Mario G Puntos 10576

ps

Por propiedades de determinantes sabemos$$\det(A+I)=\det(A+AA^T)=\det[A(I+A^T)]=\det(A)\det(I+A^T)=-\det(I+A^T)$ $ Por lo tanto,$$\det(I+A^T)=\det[(I+A)^T]=\det(I+A)$ $

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