Estoy buscando un ejemplo de dos métricas que inducen a la misma topología, pero para que una métrica es completa y la otra no (Ya se sabe que la integridad no es un invariante topológico).
Gracias de antemano por cualquier sugerencias o ideas.
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El espacio métrico $\{\frac {1}{n} \mid n\in \mathbb{N} \}$ con la métrica usual es incompleta (ya que no tenemos cero), y tiene la topología discreta.
el mismo espacio con la métrica $d(x,y)=1 \iff x\neq y$ también tiene una topología discreta pero es completa, ya que cualquier secuencia de cauchy finalmente será constante.
CodingBytes
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102
El intervalo de $M:=]-1,1[$ con la habitual línea de elemento $ds:=|dx|$ es incompleta espacio métrico: La secuencia de $x_n:=1-{1\over n} \ (n\to\infty)$ converge en $\mathbb R$, por lo que es una secuencia de Cauchy, pero diverge en $M$. Por otro lado, la "métrica hiperbólica", definida por $ds:=|dx|/(1-x^2)$ induce la misma topología en $M$ pero es completa. La última declaración de necesidades de curso una prueba. Baste aquí decir que ahora los extremos de $\pm1$ son "infinitamente lejos".
muerte
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Busca una homeomorphism $f: \mathbb R \to \mathbb R_+$ (usted debe saber una buena). A continuación, tome la costumbre de métricas en $\mathbb R$ y usarlo para definir una métrica $d$ $\mathbb R_+$ $d(x,y) = |f(x)-f(y)|$ ( * ). Ahora, ¿qué puede decir acerca de la relación entre el $d$ y la métrica usual en $\mathbb R_+$?
EDIT: se Hizo la pregunta correcta y más ilustrativo.
De modo que la identidad de $\iota: (\mathbb R_+,d) \to (\mathbb R_+,|\cdot|)$ es un homeomorphism. Ahora solo pregúntate a ti mismo que la propiedad, que las funciones continuas entre espacios métricos puede tener, $\iota$ no tienen? Se puede formular un teorema acerca de lo que la propiedad de un homeomorphism debe tener para preservar la integridad?
(*): Retroceso y pushforward podría ser de su interés.
seanyboy
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Como muchos otros han señalado, la manera de hacer esto es pensar acerca de los pares de métrica espacios que son homeomórficos pero no isométrica. En muchos casos, la métrica se completa en un solo espacio, pero no en el otro. Por ejemplo:
El conjunto $\{1/n \mid n \in \mathbb{N}\}$ es incompleta, pero los números naturales $\mathbb{N}$ están completas.
El rayo $(0,\infty)$ y el intervalo abierto $(0,1)$ son incompletos, pero la verdadera línea es completa.
Abierto disco en el plano es incompleta, pero todo el plano es completa.
El perforado de avión $\mathbb{R}-\{0\}$ es incompleta, pero el infinito cilindro $\mathbb{R} \times S^1$ (donde $S^1$ es el círculo) es completa.
La línea real menos el $x$-eje es incompleta, pero una discontinuo par de planos es completa.
El dos veces-perforado avión $\mathbb{R}^2 - \{(-1,0),(1,0)\}$ es incompleta, pero la gráfica de $$ z = \frac{1}{(x^2-1)^2 + y^2} $$ en $\mathbb{R}^3$ es completa. (Esta gráfica tiene asintótica "cúspides" a $(-1,0)$$(1,0)$.)
En cada caso, la homeomorphism entre los dos espacios pueden ser utilizados para definir una no estándar de la métrica en el último espacio que lo hace de forma incompleta.
tooshel
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Si $(X,d)$ está conectado completa de espacio métrico y $G$ es un vacío abierto apropiado subconjunto de $X$, $G$ no está completa con la restringida métrica (porque no es cerrado), sino $G$ es homeomórficos a un espacio métrico completo, porque el mapa $x\mapsto(x,1/d(x,X\setminus G))$ incrusta $G$ a un subespacio cerrado de $X\times \mathbb{R}$. (Esto es más o menos Lema 3.1.1 de Arveson la Invitación.)
Un espacio topológico que es homeomórficos a un separable espacio métrico completo es llamado un espacio polaco. Un subespacio de un espacio polaco es el polaco si y sólo si es un $G_\delta$, mientras que $G_\delta$s en completar métrica espacios no se suele completar con la restringida métrica. Por ejemplo, hay una completa métrica de la inducción de la topología usual en el conjunto de los números irracionales.
